设n维列向量组α1,α2,···,am线性无关,设n维列向量组α1,α2,···,am线性无关,设n维列向量组α1,α2,···,am线性无关,对错

考查要点：本题主要考查向量组的秩的概念及线性无关向量组的性质。

解题核心思路：

1. 秩的定义：向量组的秩是其极大线性无关组所含向量的个数。
2. 线性无关组的性质：若向量组本身线性无关，则其秩等于向量的个数。
3. 关键结论：题目中两个向量组均线性无关且均为$m$个$n$维向量，因此它们的秩均为$m$，故相等。

破题关键点：

• 明确“线性无关向量组的秩等于向量个数”这一核心性质。
• 注意向量组的维数$n$隐含条件：若$m > n$，向量组不可能线性无关，但题目已给出线性无关，故$m \leq n$。

题目条件：

• 向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$是$n$维列向量且线性无关。
• 向量组$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$是$n$维列向量且线性无关。

分析过程：

1. 秩的定义：
   向量组的秩是其极大线性无关组的向量个数。

   • 若向量组本身线性无关，则其秩等于向量个数$m$。
   • 若向量组线性相关，则其秩小于$m$。

2. 应用条件：

   • 题目中两个向量组均线性无关，因此它们的秩均为$m$。
   • 虽然向量是$n$维的，但题目已隐含$m \leq n$（否则无法线性无关）。

3. 结论：
   两个向量组的秩均为$m$，故$R(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m) = R(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m)$。