题目

设1,2,3是二次型 f(x_1,x_2,x_3) 系数矩阵 A 的三个不同的特征根, xi_1, xi_2, xi_3 是其对应的特征向量,且它们是标准正交向量组,则通过正交矩阵 P=(xi_3, xi_2, xi_1) 可把二次型化为标准形为() A)f(y_1,y_2,y_3)=3y_1^2+y_2^2+2y_3^2 B)f(y_1,y_2,y_3)=2y_1^2+y_2^2+3y_3^2 C)f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_2^2+3y_3^2 D)f(y_1,y_2,y_3)=3y_1^2+2y_2^2+y_3^2

设1,2,3是二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 系数矩阵 A 的三个不同的特征根, $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 是其对应的特征向量,且它们是标准正交向量组,则通过正交矩阵 $P=(\xi_3, \xi_2, \xi_1)$ 可把二次型化为标准形为()

A)$f(y_1,y_2,y_3)=3y_1^2+y_2^2+2y_3^2$

B)$f(y_1,y_2,y_3)=2y_1^2+y_2^2+3y_3^2$

C)$f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_2^2+3y_3^2$

D)$f(y_1,y_2,y_3)=3y_1^2+2y_2^2+y_3^2$

题目解答

答案

为了确定通过正交矩阵 $ P = (s_3, s_2, s_1) $ 可以将二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 化为的标准形，我们需要理解二次型的特征值和特征向量之间的关系，以及正交变换如何影响二次型。 已知： - 二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 的系数矩阵 $ A $ 的特征值为 $ 1, 2, 3 $。 - $ s_1, s_2, s_3 $ 是对应的特征向量，且它们是标准正交向量组。 - 正交矩阵 $ P = (s_3, s_2, s_1) $。 二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 可以表示为： \[ f(x_1, x_2, x_3) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \] 其中 $ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $。 通过正交矩阵 $ P $ 的正交变换，我们有： \[ \mathbf{y} = P^T \mathbf{x} \] 其中 $ \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} $。 由于 $ P $ 是正交矩阵，$ P^T = P^{-1} $，因此： \[ \mathbf{x} = P \mathbf{y} \] 将 $ \mathbf{x} = P \mathbf{y} $ 代入二次型，我们得到： \[ f(x_1, x_2, x_3) = (P \mathbf{y})^T A (P \mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y} \] 矩阵 $ P^T A P $ 是 $ A $ 在 $ P $ 下的相似矩阵，由于 $ P $ 是由 $ A $ 的特征向量组成的正交矩阵，$ P^T A P $ 是一个对角矩阵，其对角线元素是 $ A $ 的特征值，但排列顺序与 $ P $ 的列向量对应。因为 $ P = (s_3, s_2, s_1) $，对角线元素的顺序将是 $ 3, 2, 1 $。 因此，我们有： \[ P^T A P = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 所以，二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 在 $ \mathbf{y} $-坐标系下的标准形为： \[ f(y_1, y_2, y_3) = 3y_1^2 + 2y_2^2 + y_3^2 \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{D} \]

解析

本题考查二次型通过正交变换化为标准形的知识点。解题的关键在于理解二次型的矩阵表示、正交变换的性质以及特征值与标准形之间的对应关系。

  1. 首先明确二次型的矩阵表示：
    • 二次型$f(x_1,x_2,x_3)$可以表示为$f(x_1,x_2,x_3)=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$，其中$\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$，$A$是二次型的系数矩阵。
  2. 然后考虑正交变换：
    • 已知正交矩阵$P = (\xi_3,\xi_2,\xi_1)$，进行正交变换$\mathbf{y}=P^T\mathbf{x}$，因为$P$是正交矩阵，所以$P^T = P^{-1}$，进而可得$\mathbf{x}=P\mathbf{y}$，其中$\mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$。
  3. 接着将$\mathbf{x}=P\mathbf{y}$代入二次型表达式：
    • $f(x_1,x_2,x_3)=(P\mathbf{y})^T A(P\mathbf{y})=\mathbf{y}^T(P^T A P)\mathbf{y}$。
  4. 再根据特征值与特征向量的性质：
    • 由于$P$是由$A$的特征向量组成的正交矩阵，$P^T A P$是对角矩阵，其对角线上的元素是$A$的特征值，且排列顺序与$P$的列向量对应。
    • 已知$A$的特征值为$1,2,3$，对应的特征向量为$\xi_1,\xi_2,\xi_3$，而$P = (\xi_3,\xi_2,\xi_1)$，所以$P^T A P=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
  5. 最后得到二次型的标准形：
    • 那么$f(y_1,y_2,y_3)=\mathbf{y}^T\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\mathbf{y}=3y_1^2 + 2y_2^2 + y_3^2$。