题目
5.微分方程 '=dfrac (1-{x)^2}(xy) 满足初始条件 _(x-1)=1 的特解是 __-|||-(A) dfrac (1)(2)((x)^2+(y)^2)=ln x (B) dfrac (1)(2)((x)^2+(y)^2)=ln x+1-|||-(C) dfrac (1)(2)(y)^2+(x)^2=ln x+1-|||-(D) dfrac (1)(2)(x)^2+(y)^2=ln x+rx
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
给定微分方程 $y'=\dfrac {1-{x}^{2}}{xy}$ 可以写成 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {1-{x}^{2}}{xy}$。分离变量，得到 $ydy=\dfrac {1-{x}^{2}}{x}dx$。
步骤 2：积分
对等式两边积分，得到 $\int ydy=\int \dfrac {1-{x}^{2}}{x}dx$。左边积分得到 $\dfrac {1}{2}y^2$，右边积分得到 $\ln|x|-\dfrac {1}{2}x^2+C$。
步骤 3：应用初始条件
根据初始条件 $y|_{x=1}=1$，代入得到 $\dfrac {1}{2}y^2=\ln|x|-\dfrac {1}{2}x^2+C$，即 $\dfrac {1}{2}=\ln|1|-\dfrac {1}{2}+C$，解得 $C=1$。
步骤 4：整理方程
将 $C=1$ 代入，得到 $\dfrac {1}{2}y^2=\ln|x|-\dfrac {1}{2}x^2+1$，整理得到 $\dfrac {1}{2}(x^2+y^2)=\ln|x|+1$。
给定微分方程 $y'=\dfrac {1-{x}^{2}}{xy}$ 可以写成 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {1-{x}^{2}}{xy}$。分离变量，得到 $ydy=\dfrac {1-{x}^{2}}{x}dx$。
步骤 2：积分
对等式两边积分，得到 $\int ydy=\int \dfrac {1-{x}^{2}}{x}dx$。左边积分得到 $\dfrac {1}{2}y^2$，右边积分得到 $\ln|x|-\dfrac {1}{2}x^2+C$。
步骤 3：应用初始条件
根据初始条件 $y|_{x=1}=1$，代入得到 $\dfrac {1}{2}y^2=\ln|x|-\dfrac {1}{2}x^2+C$，即 $\dfrac {1}{2}=\ln|1|-\dfrac {1}{2}+C$，解得 $C=1$。
步骤 4：整理方程
将 $C=1$ 代入，得到 $\dfrac {1}{2}y^2=\ln|x|-\dfrac {1}{2}x^2+1$，整理得到 $\dfrac {1}{2}(x^2+y^2)=\ln|x|+1$。