讨论 (x)=dfrac (1)(x) 在区间(0,1),(1,2), (2,+infty ) (0,+infty ) 上的有界性.

考查要点：本题主要考查函数有界性的判断，需要结合函数单调性分析不同区间内的取值范围。

解题核心思路：

1. 明确有界性定义：若存在实数$M$，使得$|f(x)| \leq M$在区间内恒成立，则$f(x)$在该区间上有界。
2. 利用单调性分析极值：函数$f(x)=\dfrac{1}{x}$在定义域内单调递减，可通过端点值确定取值范围。
3. 分区间讨论：分别判断每个区间内是否存在无界情况（如趋近于无穷大）。

破题关键点：

• (0,1)：当$x \to 0^+$时，$f(x) \to +\infty$，故无界。
• (1,2)和(2,+\infty)：通过端点值确定取值范围，均为有界。
• (0,+\infty)：因包含无界的子区间(0,1)，整体无界。

区间 $(0,1)$

1. 单调性：$f(x)=\dfrac{1}{x}$在$(0,1)$上单调递减。
2. 极限分析：当$x \to 0^+$时，$f(x) \to +\infty$。
3. 结论：函数值无上界，故在$(0,1)$上无界。

区间 $(1,2)$

1. 单调性：$f(x)=\dfrac{1}{x}$在$(1,2)$上单调递减。
2. 取值范围：当$x=1$时，$f(x)=1$；当$x=2$时，$f(x)=\dfrac{1}{2}$，故$f(x) \in \left( \dfrac{1}{2}, 1 \right]$。
3. 结论：存在界$M=1$，故在$(1,2)$上有界。

区间 $(2,+\infty)$

1. 单调性：$f(x)=\dfrac{1}{x}$在$(2,+\infty)$上单调递减。
2. 取值范围：当$x=2$时，$f(x)=\dfrac{1}{2}$；当$x \to +\infty$时，$f(x) \to 0$，故$f(x) \in \left( 0, \dfrac{1}{2} \right]$。
3. 结论：存在界$M=\dfrac{1}{2}$，故在$(2,+\infty)$上有界。

区间 $(0,+\infty)$

1. 综合分析：包含无界区间$(0,1)$，因此整体无界。
2. 结论：在$(0,+\infty)$上无界。