题目
微分方程x(dy)/(dx)+y=xy(dy)/(dx)的通解为____.
微分方程$x\frac{dy}{dx}+y=xy\frac{dy}{dx}$的通解为____.
题目解答
答案
将微分方程 $x \frac{dy}{dx} + y = xy \frac{dy}{dx}$ 整理为：
\[
\frac{dy}{dx} (x - xy) = -y \quad \Rightarrow \quad \frac{1 - y}{y} dy = -\frac{1}{x} dx
\]
分离变量并积分：
\[
\int \left( \frac{1}{y} - 1 \right) dy = -\int \frac{1}{x} dx \quad \Rightarrow \quad \ln |y| - y = -\ln |x| + C
\]
整理得：
\[
\ln |xy| = y + C \quad \Rightarrow \quad xy = C e^y
\]
**答案：** $\boxed{xy = C e^y}$
解析
步骤 1：整理微分方程
将微分方程 $x \frac{dy}{dx} + y = xy \frac{dy}{dx}$ 整理为： \[ \frac{dy}{dx} (x - xy) = -y \quad \Rightarrow \quad \frac{1 - y}{y} dy = -\frac{1}{x} dx \]
步骤 2：分离变量并积分
分离变量并积分： \[ \int \left( \frac{1}{y} - 1 \right) dy = -\int \frac{1}{x} dx \quad \Rightarrow \quad \ln |y| - y = -\ln |x| + C \]
步骤 3：整理得通解
整理得： \[ \ln |xy| = y + C \quad \Rightarrow \quad xy = C e^y \]
将微分方程 $x \frac{dy}{dx} + y = xy \frac{dy}{dx}$ 整理为： \[ \frac{dy}{dx} (x - xy) = -y \quad \Rightarrow \quad \frac{1 - y}{y} dy = -\frac{1}{x} dx \]
步骤 2：分离变量并积分
分离变量并积分： \[ \int \left( \frac{1}{y} - 1 \right) dy = -\int \frac{1}{x} dx \quad \Rightarrow \quad \ln |y| - y = -\ln |x| + C \]
步骤 3：整理得通解
整理得： \[ \ln |xy| = y + C \quad \Rightarrow \quad xy = C e^y \]