题目
设随机变量X在1，2，3三个数字中等可能的取值，随机变量Y在1到X中等可能的取一整数值，则联合概率P（X=1，Y=1）和条件概率P（X=1|Y=1）的值分别为（ ）A. (1)/(3)，(3)/(11)B. (1)/(3)，(6)/(11)C. (1)/(3)，(1)/(6)D. (1)/(6)，(1)/(9)
设随机变量X在1，2，3三个数字中等可能的取值，随机变量Y在1到X中等可能的取一整数值，则联合概率P（X=1，Y=1）和条件概率P（X=1|Y=1）的值分别为（ ）
A. $\frac{1}{3}$，$\frac{3}{11}$
B. $\frac{1}{3}$，$\frac{6}{11}$
C. $\frac{1}{3}，\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{6}，\frac{1}{9}$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{3}$，$\frac{6}{11}$
解析
步骤 1：计算联合概率P（X=1，Y=1）
由于随机变量X在1，2，3三个数字中等可能取值，因此P（X=1）=$\frac{1}{3}$。当X=1时，Y只能取1，因此P（Y=1|X=1）=1。根据联合概率的定义，P（X=1，Y=1）=P（X=1）•P（Y=1|X=1）=$\frac{1}{3}$×1=$\frac{1}{3}$。
步骤 2：计算条件概率P（X=1|Y=1）
根据条件概率的定义，P（X=1|Y=1）=$\frac{P（X=1，Y=1）}{P（Y=1）}$。首先，我们需要计算P（Y=1）。根据题意，P（X=2，Y=1）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，P（X=3，Y=1）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$。因此，P（Y=1）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$=$\frac{11}{18}$。所以，P（X=1|Y=1）=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{18}}$=$\frac{6}{11}$。
由于随机变量X在1，2，3三个数字中等可能取值，因此P（X=1）=$\frac{1}{3}$。当X=1时，Y只能取1，因此P（Y=1|X=1）=1。根据联合概率的定义，P（X=1，Y=1）=P（X=1）•P（Y=1|X=1）=$\frac{1}{3}$×1=$\frac{1}{3}$。
步骤 2：计算条件概率P（X=1|Y=1）
根据条件概率的定义，P（X=1|Y=1）=$\frac{P（X=1，Y=1）}{P（Y=1）}$。首先，我们需要计算P（Y=1）。根据题意，P（X=2，Y=1）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，P（X=3，Y=1）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$。因此，P（Y=1）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$=$\frac{11}{18}$。所以，P（X=1|Y=1）=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{18}}$=$\frac{6}{11}$。