题目
25.（填空题，2.0分）将xOz坐标面上的抛物线z^2=5x绕x轴旋转一周，则所生成的旋转曲面的方程为____.
25.（填空题，2.0分）
将xOz坐标面上的抛物线$z^{2}=5x$绕x轴旋转一周，则所生成的旋转曲面的方程为____.
题目解答
答案
将 $xOz$ 坐标面上的抛物线 $z^2 = 5x$ 绕 $x$ 轴旋转，任意点 $(x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离为 $\sqrt{y^2 + z^2}$。对应 $xOz$ 面上的点坐标为 $(x, 0, \pm \sqrt{y^2 + z^2})$，代入原方程得：
\[
(\pm \sqrt{y^2 + z^2})^2 = 5x \implies y^2 + z^2 = 5x.
\]
因此，所求旋转曲面方程为 $\boxed{y^2 + z^2 = 5x}$。
解析
步骤 1：确定旋转曲面的生成方式
将 $xOz$ 坐标面上的抛物线 $z^2 = 5x$ 绕 $x$ 轴旋转一周，生成的旋转曲面的每个点 $(x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离为 $\sqrt{y^2 + z^2}$。
步骤 2：将旋转曲面上的点与原抛物线上的点对应
对于旋转曲面上的任意点 $(x, y, z)$，其在 $xOz$ 面上的对应点为 $(x, 0, \pm \sqrt{y^2 + z^2})$。将这个点代入原抛物线方程 $z^2 = 5x$ 中。
步骤 3：推导旋转曲面的方程
将 $(x, 0, \pm \sqrt{y^2 + z^2})$ 代入 $z^2 = 5x$，得到 $(\pm \sqrt{y^2 + z^2})^2 = 5x$，即 $y^2 + z^2 = 5x$。因此，旋转曲面的方程为 $y^2 + z^2 = 5x$。
将 $xOz$ 坐标面上的抛物线 $z^2 = 5x$ 绕 $x$ 轴旋转一周，生成的旋转曲面的每个点 $(x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离为 $\sqrt{y^2 + z^2}$。
步骤 2：将旋转曲面上的点与原抛物线上的点对应
对于旋转曲面上的任意点 $(x, y, z)$，其在 $xOz$ 面上的对应点为 $(x, 0, \pm \sqrt{y^2 + z^2})$。将这个点代入原抛物线方程 $z^2 = 5x$ 中。
步骤 3：推导旋转曲面的方程
将 $(x, 0, \pm \sqrt{y^2 + z^2})$ 代入 $z^2 = 5x$，得到 $(\pm \sqrt{y^2 + z^2})^2 = 5x$，即 $y^2 + z^2 = 5x$。因此，旋转曲面的方程为 $y^2 + z^2 = 5x$。