2.下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：设f(x)是以2π为周期的周期函数，它在[-π，π)上的表达式为|x|，则f(x)的傅里叶级数为（）.(A）(pi)/(2)-(4)/(pi)[cos x+(1)/(3^2)cos 3x+(1)/(5^2)cos 5x+...+(1)/((2n-1)^2)cos(2n-1)x+...](B）(2)/(pi)[(1)/(2^2)sin 2x+(1)/(4^2)sin 4x+(1)/(6^2)sin 6x+...+(1)/((2n)^2)sin 2nx+...](C）(4)/(pi)[cos x+(1)/(3^2)cos 3x+(1)/(5^2)cos 5x+...+(1)/((2n-1)^2)cos(2n-1)x+...](D）(1)/(pi)[(1)/(2^2)cos 2x+(1)/(4^2)cos 4x+(1)/(6^2)cos 6x+...+(1)/((2n)^2)cos 2nx+...]

考查要点：本题主要考查偶函数的傅里叶级数展开，重点在于利用函数的奇偶性简化计算，并正确求解傅里叶系数。

解题核心思路：

1. 判断函数奇偶性：由于$f(x)=|x|$是偶函数，其傅里叶级数中仅含余弦项，正弦项系数$b_n$均为0。
2. 计算常数项$a_0$：利用偶函数对称性，将积分区间简化为$[0, \pi]$的两倍。
3. 计算余弦项系数$a_n$：通过分部积分法求解积分，注意奇偶性对系数的影响，最终得出$a_n$仅在$n$为奇数时非零。

破题关键点：

• 排除无关选项：直接排除含正弦项（选项B）和偶数次余弦项（选项D）的选项。
• 符号与系数匹配：通过计算验证$a_n$的符号和表达式，确定正确选项。

步骤1：判断函数奇偶性

$f(x)=|x|$是偶函数，因此傅里叶级数中仅含余弦项，即：
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)$

步骤2：计算常数项$a_0$

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi |x| \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \, dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \pi$

步骤3：计算余弦项系数$a_n$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \cos(nx) \, dx$
通过分部积分法：
$\int x \cos(nx) \, dx = \frac{\cos(n\pi) - 1}{n^2}$
因此：
$a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\cos(n\pi) - 1}{n^2} = \begin{cases}-\frac{4}{\pi n^2}, & n \text{为奇数}, \\0, & n \text{为偶数}.\end{cases}$

步骤4：构造傅里叶级数

将非零的$a_n$代入级数表达式：
$f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2}$
对应选项A。