13.试用初等变换法，(1)求向量组alpha_(1)=(1,4,1,0)^T,alpha_(2)=(2,1,-1,-3)^T,alpha_(3)=(1,0,-3,-1)^T,alpha_(4)=(0,2,-6,3)^T的一个极大无关组；(2)求向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4)的秩R(alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4))；(3)将(1)中其余向量用极大无关组线性表示.

为了求解给定的向量组 $\alpha_1 = (1, 4, 1, 0)^T$, $\alpha_2 = (2, 1, -1, -3)^T$, $\alpha_3 = (1, 0, -3, -1)^T$, $\alpha_4 = (0, 2, -6, 3)^T$ 的问题，我们将使用初等变换法。让我们分步骤进行。 ### 步骤1: 求向量组的一个极大无关组 首先，将向量组写成矩阵 $A$，其中每一列是一个向量： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -3 & -6 \\ 0 & -3 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] 接下来，对矩阵 $A$ 进行初等行变换，将其化为行阶梯形或行最简形。 1. 交换第1行和第2行： \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -3 & -6 \\ 0 & -3 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] 2. 将第1行的 $-\frac{1}{4}$ 倍加到第2行，将第1行的 $-\frac{1}{4}$ 倍加到第3行： \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{7}{4} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{5}{4} & -3 & -\frac{13}{2} \\ 0 & -3 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] 3. 将第2行的 $\frac{5}{7}$ 倍加到第3行，将第2行的 $\frac{12}{7}$ 倍加到第4行： \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{7}{4} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{16}{7} & -\frac{48}{7} \\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & \frac{15}{7} \end{pmatrix} \] 4. 将第3行的 $\frac{5}{16}$ 倍加到第4行： \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{7}{4} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{16}{7} & -\frac{48}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 5. 将第3行除以 $-\frac{16}{7}$： \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{7}{4} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 6. 将第3行的 $-1$ 倍加到第2行： \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{7}{4} & 0 & -\frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 7. 将第2行除以 $\frac{7}{4}$： \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 8. 将第2行的 $-1$ 倍加到第1行： \[ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 9. 将第1行除以 4： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵的行最简形为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 从行最简形中，我们可以看出，向量组的极大无关组是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。 ### 步骤2: 求向量组的秩 向量组的秩等于极大无关组中向量的个数，即 3。因此，秩 $R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3$。 ### 步骤3: 将其余向量用极大无关组线性表示 从行最简形中，我们可以看出，第4列可以表示为第1列、第2列和第3列的线性组合： \[ \alpha_4 = 1 \cdot \alpha_1 + (-2) \cdot \alpha_2 + 3 \cdot \alpha_3 \] 即： \[ \alpha_4 = \alpha_1 - 2 \alpha_2 + 3 \alpha_3 \] ### 最终答案 1. 向量组的一个极大无关组是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。 2. 向量组的秩 $R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3$。 3. 其余向量用极大无关组线性表示为 $\alpha_4 = \alpha_1 - 2 \alpha_2 + 3 \alpha_3$。 \[ \boxed{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3; 3; \alpha_4 = \alpha_1 - 2 \alpha_2 + 3 \alpha_3} \]