题目
五.(18分) 对于方程^3-3x-1=0(1) 分析方程的正根范围.(2) 可以构造迭代公式:^3-3x-1=0,^3-3x-1=0 分析两种迭代法的收敛性(2) 用Newton 迭代法计算方程正根解的近似值.(要求精度满足:^3-3x-1=0).
五.(18分) 对于方程
(1) 分析方程的正根范围.
(2) 可以构造迭代公式:
,
分析两种迭代法的收敛性
(2) 用Newton 迭代法计算方程正根解的近似值.(要求精度满足:
).
题目解答
答案
解:(1)设
当
所以正根在(1,2)内,并且是唯一正根。 (5)
(2)对于迭代格式
对于迭代格式
(6)
(7)
解析
步骤 1：分析方程的正根范围
首先，我们定义函数$f(x)={x}^{3}-3x-1$，并求其导数$f'(x)=3{x}^{2}-3$。通过求导数的零点，我们得到$x=1$和$x=-1$。根据导数的符号，我们可以确定函数的单调性。当$x\in(-\infty,-1)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(-1,1)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。通过计算$f(-1)$，$f(1)$，$f(2)$的值，我们可以确定正根的范围。
步骤 2：分析两种迭代法的收敛性
对于迭代公式${x}_{k+1}=\dfrac {1}{3}({{x}_{k}}^{3}-1)$，我们定义$\varphi(x)=\dfrac {1}{3}({x}^{3}-1)$，并求其导数$\varphi'(x)={x}^{2}$。当$x\in(1,2)$时，$|\varphi'(x)|>1$，因此该迭代格式发散。对于迭代公式${x}_{k+1}=\sqrt [3]{3{x}_{k}-1}$，我们定义$\varphi(x)=\sqrt [3]{3x-1}$，并求其导数$\varphi'(x)=\dfrac {1}{3\sqrt [3]{{(3x-1)}^{2}}}=\dfrac {1}{\sqrt [3]{{(3x-1)}^{2}}}$。当$x\in(1,2)$时，$|\varphi'(x)|<1$，因此该迭代格式收敛。
步骤 3：用Newton迭代法计算方程正根解的近似值
Newton迭代法的迭代公式为${x}_{k+1}={x}_{k}-\dfrac {f(x_k)}{f'(x_k)}$。对于方程${x}^{3}-3x-1=0$，我们有$f(x)={x}^{3}-3x-1$和$f'(x)=3{x}^{2}-3$。取初值${x}_{0}=1.5$，我们可以通过迭代计算得到正根的近似值，直到满足精度要求$|{x}_{k+1}-{x}_{k}|\lt 0.0005$。
首先，我们定义函数$f(x)={x}^{3}-3x-1$，并求其导数$f'(x)=3{x}^{2}-3$。通过求导数的零点，我们得到$x=1$和$x=-1$。根据导数的符号，我们可以确定函数的单调性。当$x\in(-\infty,-1)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(-1,1)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。通过计算$f(-1)$，$f(1)$，$f(2)$的值，我们可以确定正根的范围。
步骤 2：分析两种迭代法的收敛性
对于迭代公式${x}_{k+1}=\dfrac {1}{3}({{x}_{k}}^{3}-1)$，我们定义$\varphi(x)=\dfrac {1}{3}({x}^{3}-1)$，并求其导数$\varphi'(x)={x}^{2}$。当$x\in(1,2)$时，$|\varphi'(x)|>1$，因此该迭代格式发散。对于迭代公式${x}_{k+1}=\sqrt [3]{3{x}_{k}-1}$，我们定义$\varphi(x)=\sqrt [3]{3x-1}$，并求其导数$\varphi'(x)=\dfrac {1}{3\sqrt [3]{{(3x-1)}^{2}}}=\dfrac {1}{\sqrt [3]{{(3x-1)}^{2}}}$。当$x\in(1,2)$时，$|\varphi'(x)|<1$，因此该迭代格式收敛。
步骤 3：用Newton迭代法计算方程正根解的近似值
Newton迭代法的迭代公式为${x}_{k+1}={x}_{k}-\dfrac {f(x_k)}{f'(x_k)}$。对于方程${x}^{3}-3x-1=0$，我们有$f(x)={x}^{3}-3x-1$和$f'(x)=3{x}^{2}-3$。取初值${x}_{0}=1.5$，我们可以通过迭代计算得到正根的近似值，直到满足精度要求$|{x}_{k+1}-{x}_{k}|\lt 0.0005$。