已知A+B+C=0,求证:A×B=B×C=C×A.

解释问题的表达式：

我们要证明的等式是：A×B = B×C = C×A。其中，A、B、C是向量，"×"表示向量的叉乘。

利用已知条件进行代入和替换：

已知A+B+C=0，我们可以利用这个条件进行代入和替换。首先，将已知条件改写为A=-B-C。然后，将A代入等式中，我们得到：(-B-C)×B = B×C = C×(-B-C)。

证明过程：

首先，我们考虑(-B-C)×B = C×(-B-C)。

利用向量的叉乘的性质展开：

(-B-C)×B = -B×B - C×B = -C×B - B×B。

根据向量的叉乘的性质B×B=0，得到：

(-B-C)×B = -C×B。

然后，我们考虑C×(-B-C)。

利用向量的叉乘的分配律展开：

C×(-B-C) = C×(-B) - C×C = -C×B - C×C。

根据向量的叉乘的性质C×C=0，得到：

C×(-B-C) = -C×B。

综合上述步骤，我们可以得出：

(-B-C)×B = C×(-B-C) = -C×B。

因此，根据上述推导，我们证明了等式：A×B = B×C = C×A。

总结：通过利用已知条件进行代入和替换，以及向量的叉乘的性质和分配律，我们证明了等式A×B = B×C = C×A。这个证明过程基于向量的代数运算和性质，每一步都基于数学运算的规律和性质，从而得到了等式成立的结论。