题目
设函数y=f(x)由方程y^3+xy^2+x^2y+6=0确定，求f(x)的极值．
设函数$$y=f(x)$$由方程$$y^{3}+xy^{2}+x^{2}y+6=0$$确定，求f(x)的极值．
题目解答
答案
在方程两边同时对x求导一次，得到$$(3y^{2}+2xy+x^{2})y'+(y^{2}+2xy)=0$$，(1)即$$\frac{dy}{dx}$$＝$$\frac{-y^{2}-2xy}{3y^{2}+2xy+x^{2}}$$
令 $$\frac{dy}{dx}$$＝0及$$y^{3}+xy^{2}+x^{2}y+6=0$$，得到函数唯一驻点x=1，y=-2．
在(1)式两边同时对x求导一次，得到
$$(6yy'+4y+2xy'+4x)y'$$+$$(3y^{2}+2xy+x^{2})y''+2y=0$$把x=1，y=-2，$$y'(1)=0$$代入，得到y″(1)＝$$\frac{4}{9}$$＞0,故函数在x=1处取得极小值y=-2．
解析
步骤 1：对给定方程进行隐函数求导
对方程$$y^{3}+xy^{2}+x^{2}y+6=0$$两边同时对x求导，得到
$$3y^{2}y'+y^{2}+2xyy'+2xy+x^{2}y'=0$$
整理得到
$$(3y^{2}+2xy+x^{2})y'+(y^{2}+2xy)=0$$
步骤 2：求解驻点
令$$\frac{dy}{dx}$$＝0，即$$\frac{-y^{2}-2xy}{3y^{2}+2xy+x^{2}}$$＝0，得到$$y^{2}+2xy=0$$
结合原方程$$y^{3}+xy^{2}+x^{2}y+6=0$$，联立求解得到驻点x=1，y=-2．
步骤 3：判断驻点的性质
对$$\frac{dy}{dx}$$＝$$\frac{-y^{2}-2xy}{3y^{2}+2xy+x^{2}}$$再次求导，得到
$$(6yy'+4y+2xy'+4x)y'$$+$$(3y^{2}+2xy+x^{2})y''+2y=0$$
将x=1，y=-2，$$y'(1)=0$$代入，得到y″(1)＝$$\frac{4}{9}$$＞0，说明函数在x=1处取得极小值y=-2．
对方程$$y^{3}+xy^{2}+x^{2}y+6=0$$两边同时对x求导，得到
$$3y^{2}y'+y^{2}+2xyy'+2xy+x^{2}y'=0$$
整理得到
$$(3y^{2}+2xy+x^{2})y'+(y^{2}+2xy)=0$$
步骤 2：求解驻点
令$$\frac{dy}{dx}$$＝0，即$$\frac{-y^{2}-2xy}{3y^{2}+2xy+x^{2}}$$＝0，得到$$y^{2}+2xy=0$$
结合原方程$$y^{3}+xy^{2}+x^{2}y+6=0$$，联立求解得到驻点x=1，y=-2．
步骤 3：判断驻点的性质
对$$\frac{dy}{dx}$$＝$$\frac{-y^{2}-2xy}{3y^{2}+2xy+x^{2}}$$再次求导，得到
$$(6yy'+4y+2xy'+4x)y'$$+$$(3y^{2}+2xy+x^{2})y''+2y=0$$
将x=1，y=-2，$$y'(1)=0$$代入，得到y″(1)＝$$\frac{4}{9}$$＞0，说明函数在x=1处取得极小值y=-2．