题目
已知 _(1)=0, _(2)=-4 是某齐次的二阶常系数线性微分方程的特征方程的两个根，则该方程是 （ ）A、_(1)=0, _(2)=-4B、_(1)=0, _(2)=-4C、_(1)=0, _(2)=-4D、_(1)=0, _(2)=-4
已知 
是某齐次的二阶常系数线性微分方程的特征方程的两个根，则该方程是 （ ）
A、
B、
C、
D、
题目解答
答案
答案选D
根据选项分别得出微分方程的特征方程为
A：
B、
C、
D、
故D为正确答案。
解析
步骤 1：确定特征方程
根据题目，已知特征方程的两个根为 ${r}_{1}=0$ 和 ${r}_{2}=-4$。特征方程的形式为 $(r-r_{1})(r-r_{2})=0$，代入已知的根，得到特征方程为 $(r-0)(r+4)=0$，即 $r(r+4)=0$。
步骤 2：将特征方程转换为微分方程
特征方程 $r(r+4)=0$ 对应的微分方程形式为 $y''+4y'=0$。这是因为特征方程中的 $r$ 对应微分方程中的 $y'$，$r^2$ 对应 $y''$。所以，$r(r+4)=0$ 转换为 $y''+4y'=0$。
步骤 3：验证选项
A、${y}^{11}-4y=0$ 对应的特征方程为 ${r}^{2}-4=0$，根为 ${r}_{1}=-2$ 和 ${r}_{2}=2$，不符合题目条件。
B、${y}^{n}+4y'=0$ 对应的特征方程为 ${r}^{n-1}+4r=0$，根为 ${r}^{n-2}=-4$，不符合题目条件。
C、$y''+4y=0$ 对应的特征方程为 ${r}^{2}+4=0$，根为 ${r}_{1}=\pm 2i$，不符合题目条件。
D、${y}^{11}-4y'=0$ 对应的特征方程为 ${r}^{2}-4r=0$，根为 ${r}_{1}=0$ 和 ${r}_{2}=4$，符合题目条件。
根据题目，已知特征方程的两个根为 ${r}_{1}=0$ 和 ${r}_{2}=-4$。特征方程的形式为 $(r-r_{1})(r-r_{2})=0$，代入已知的根，得到特征方程为 $(r-0)(r+4)=0$，即 $r(r+4)=0$。
步骤 2：将特征方程转换为微分方程
特征方程 $r(r+4)=0$ 对应的微分方程形式为 $y''+4y'=0$。这是因为特征方程中的 $r$ 对应微分方程中的 $y'$，$r^2$ 对应 $y''$。所以，$r(r+4)=0$ 转换为 $y''+4y'=0$。
步骤 3：验证选项
A、${y}^{11}-4y=0$ 对应的特征方程为 ${r}^{2}-4=0$，根为 ${r}_{1}=-2$ 和 ${r}_{2}=2$，不符合题目条件。
B、${y}^{n}+4y'=0$ 对应的特征方程为 ${r}^{n-1}+4r=0$，根为 ${r}^{n-2}=-4$，不符合题目条件。
C、$y''+4y=0$ 对应的特征方程为 ${r}^{2}+4=0$，根为 ${r}_{1}=\pm 2i$，不符合题目条件。
D、${y}^{11}-4y'=0$ 对应的特征方程为 ${r}^{2}-4r=0$，根为 ${r}_{1}=0$ 和 ${r}_{2}=4$，符合题目条件。