1.极限 lim _(xarrow 0)((1+2x))^dfrac (1{x)}= () .-|||-A.1 B.e C.e^2 D.

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用自然对数的底数e的定义式来求解指数函数的极限。

解题核心思路：
题目中的极限形式与标准极限式 $\lim_{x \to 0} (1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^k$ 直接对应。关键点在于识别题目中的系数 $k$，并将其代入公式即可快速求解。

破题关键：

1. 观察到 $(1 + 2x)$ 的形式与标准式 $(1 + kx)$ 中的 $k = 2$。
2. 指数部分 $\frac{1}{x}$ 与标准式中的 $\frac{1}{x}$ 完全一致。
3. 直接应用公式得出结果 $e^2$。

步骤1：识别标准极限形式
题目给出的极限为：
$\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}}$
与标准极限式 $\lim_{x \to 0} (1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^k$ 形式一致，其中 $k = 2$。

步骤2：代入公式求解
根据标准公式，直接代入 $k = 2$，得：
$\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = e^2$

验证方法（对数转换法）

1. 设 $y = (1 + 2x)^{\frac{1}{x}}$，取自然对数得：
   $\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + 2x)$
2. 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + 2x) \approx 2x$（利用泰勒展开或等价无穷小替换），因此：
   $\ln y \approx \frac{1}{x} \cdot 2x = 2$
3. 回到原式得：
   $y \approx e^2$