题目
[2015·高考全国新课标卷Ⅰ，21]我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后,先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行;然后经过一系列过程,在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止);最后关闭发动机,探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×10 3 kg,地球质量约为月球的81倍,地球半径约为月球的3.7倍,地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2。则此探测器( ) A. 在着陆前的瞬间,速度大小约为8.9 m/s B. 悬停时受到的反冲作用力约为2×10 3 N C. 从离开近月圆轨道到着陆这段时间内,机械能守恒 D. 在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算月球表面的重力加速度
根据万有引力定律，地球表面的重力加速度 \(g_{地} = \frac{GM_{地}}{R_{地}^2}\)，其中 \(M_{地}\) 是地球质量，\(R_{地}\) 是地球半径。同理，月球表面的重力加速度 \(g_{月} = \frac{GM_{月}}{R_{月}^2}\)。由于 \(M_{地} = 81M_{月}\) 和 \(R_{地} = 3.7R_{月}\)，可以得到 \(g_{月} = \frac{g_{地}M_{月}R_{地}^2}{M_{地}R_{月}^2} = \frac{g_{地}}{81} \times (3.7)^2 = \frac{9.8}{81} \times 13.69 = 1.63 m/s^2\)。
步骤 2：计算着陆前瞬间的速度
探测器自由下落，根据自由落体运动公式 \(v^2 = 2gh\)，其中 \(h = 4m\)，\(g = g_{月} = 1.63 m/s^2\)，可以得到 \(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 1.63 \times 4} = 3.6 m/s\)。因此，选项A错误。
步骤 3：计算悬停时的反冲作用力
探测器悬停时，受到的反冲作用力等于其重力，即 \(F = mg_{月} = 1.3 \times 10^3 \times 1.63 = 2.12 \times 10^3 N\)。因此，选项B正确。
步骤 4：判断机械能是否守恒
从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，探测器受到发动机的推力作用，因此机械能不守恒。因此，选项C错误。
步骤 5：比较线速度
根据万有引力定律，探测器在近月圆轨道上的线速度 \(v_{月} = \sqrt{\frac{GM_{月}}{R_{月}}}\)，人造卫星在近地圆轨道上的线速度 \(v_{地} = \sqrt{\frac{GM_{地}}{R_{地}}}\)。由于 \(M_{地} = 81M_{月}\) 和 \(R_{地} = 3.7R_{月}\)，可以得到 \(v_{月} = \sqrt{\frac{M_{月}}{R_{月}}} < \sqrt{\frac{81M_{月}}{3.7R_{月}}} = v_{地}\)。因此，选项D正确。
根据万有引力定律，地球表面的重力加速度 \(g_{地} = \frac{GM_{地}}{R_{地}^2}\)，其中 \(M_{地}\) 是地球质量，\(R_{地}\) 是地球半径。同理，月球表面的重力加速度 \(g_{月} = \frac{GM_{月}}{R_{月}^2}\)。由于 \(M_{地} = 81M_{月}\) 和 \(R_{地} = 3.7R_{月}\)，可以得到 \(g_{月} = \frac{g_{地}M_{月}R_{地}^2}{M_{地}R_{月}^2} = \frac{g_{地}}{81} \times (3.7)^2 = \frac{9.8}{81} \times 13.69 = 1.63 m/s^2\)。
步骤 2：计算着陆前瞬间的速度
探测器自由下落，根据自由落体运动公式 \(v^2 = 2gh\)，其中 \(h = 4m\)，\(g = g_{月} = 1.63 m/s^2\)，可以得到 \(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 1.63 \times 4} = 3.6 m/s\)。因此，选项A错误。
步骤 3：计算悬停时的反冲作用力
探测器悬停时，受到的反冲作用力等于其重力，即 \(F = mg_{月} = 1.3 \times 10^3 \times 1.63 = 2.12 \times 10^3 N\)。因此，选项B正确。
步骤 4：判断机械能是否守恒
从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，探测器受到发动机的推力作用，因此机械能不守恒。因此，选项C错误。
步骤 5：比较线速度
根据万有引力定律，探测器在近月圆轨道上的线速度 \(v_{月} = \sqrt{\frac{GM_{月}}{R_{月}}}\)，人造卫星在近地圆轨道上的线速度 \(v_{地} = \sqrt{\frac{GM_{地}}{R_{地}}}\)。由于 \(M_{地} = 81M_{月}\) 和 \(R_{地} = 3.7R_{月}\)，可以得到 \(v_{月} = \sqrt{\frac{M_{月}}{R_{月}}} < \sqrt{\frac{81M_{月}}{3.7R_{月}}} = v_{地}\)。因此，选项D正确。