题目
14.利用极坐标计算下列各题： iintlimits_(D)e^x^(2+y^2)dsigma ，其中D是由圆周x^2+y^2=4所围成的闭区域；
14.利用极坐标计算下列各题：
$ \iint\limits_{D}e^{x^{2}+y^{2}}d\sigma $，其中D是由圆周$x^{2}+y^{2}=4$所围成的闭区域；
题目解答
答案
将直角坐标转换为极坐标，其中 $x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，面积元素变为 $\rho \, d\rho \, d\theta$。积分区域 $D$ 为 $0 \leq \rho \leq 2$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
原积分转换为：
\[
\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{\rho^2} \rho \, d\rho \, d\theta
\]
令 $u = \rho^2$，则 $du = 2\rho \, d\rho$，内积分变为：
\[
\frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du = \frac{1}{2} (e^4 - 1)
\]
外积分得：
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \pi (e^4 - 1)
\]
**答案：** $\boxed{\pi (e^4 - 1)}$
解析
步骤 1：转换坐标系
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，其中 $\rho$ 是极径，$\theta$ 是极角。积分区域 $D$ 由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 所围成，因此在极坐标系中，$0 \leq \rho \leq 2$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。面积元素 $d\sigma$ 在极坐标系中变为 $\rho \, d\rho \, d\theta$。
步骤 2：转换积分
原积分转换为极坐标系下的形式：\[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{\rho^2} \rho \, d\rho \, d\theta \]。
步骤 3：计算内积分
令 $u = \rho^2$，则 $du = 2\rho \, d\rho$。因此，内积分变为：\[ \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du = \frac{1}{2} (e^4 - 1) \]。
步骤 4：计算外积分
将内积分的结果代入外积分中，得到：\[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \pi (e^4 - 1) \]。
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，其中 $\rho$ 是极径，$\theta$ 是极角。积分区域 $D$ 由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 所围成，因此在极坐标系中，$0 \leq \rho \leq 2$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。面积元素 $d\sigma$ 在极坐标系中变为 $\rho \, d\rho \, d\theta$。
步骤 2：转换积分
原积分转换为极坐标系下的形式：\[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{\rho^2} \rho \, d\rho \, d\theta \]。
步骤 3：计算内积分
令 $u = \rho^2$，则 $du = 2\rho \, d\rho$。因此，内积分变为：\[ \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du = \frac{1}{2} (e^4 - 1) \]。
步骤 4：计算外积分
将内积分的结果代入外积分中，得到：\[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \pi (e^4 - 1) \]。