设为实数集合,和为数的加法和乘法运算,对,,证明:为独异点。

步骤 1：验证封闭性
首先，我们需要验证集合$R$在运算$米$下是否封闭。给定$a,b\in R$，根据定义，$a米b = a + b + a\times b$。由于$a,b$是实数，$a+b$和$a\times b$也是实数，因此$a米b$也是实数，即$a米b\in R$。所以，$R$在运算$米$下是封闭的。

步骤 2：验证结合律
接下来，我们需要验证运算$米$是否满足结合律。即，对于任意的$x,y,z\in R$，需要验证$(x米y)米z = x米(y米z)$。
- 左边：$(x米y)米z = (x + y + x\times y)米z = (x + y + x\times y) + z + (x + y + x\times y)\times z = x + y + x\times y + z + x\times z + y\times z + x\times y\times z$
- 右边：$x米(y米z) = x米(y + z + y\times z) = x + (y + z + y\times z) + x\times (y + z + y\times z) = x + y + z + y\times z + x\times y + x\times z + x\times y\times z$
由于左边和右边相等，所以运算$米$满足结合律。

步骤 3：寻找幺元
最后，我们需要找到一个元素$e\in R$，使得对于任意的$x\in R$，都有$x米e = e米x = x$。
- $x米e = x + e + x\times e = x$
- $e米x = e + x + e\times x = x$
解这两个方程，可以得到$e = 0$。因此，$0$是运算$米$的幺元。