题目

(7)已知极限 lim _(xarrow +infty )(dfrac ({x)^2}(x+1)-x-a)=2, 则常数a是 () 。(2017会计选择2 )-|||-(A)1; (B)2; (C) -2; (D) -3。

题目解答

答案

解析

本题考查极限的计算。解题思路是先对原式进行通分化简，将其转化为一个分式的极限形式，然后根据极限存在且等于$2$的条件来确定常数$a$的值。

  1. 首先对$\frac{x^2}{x + 1}-x - a$进行通分：
    • $\frac{x^2}{x + 1}-x - a=\frac{x^2}{x + 1}-\frac{x(x + 1)}{x + 1}-\frac{a(x + 1)}{x + 1}$。
    • 根据分式的运算法则$\frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A - B}{C}$，上式可化简为$\frac{x^2-x(x + 1)-a(x + 1)}{x + 1}$。
  2. 然后对分子进行展开：
    • 展开$x^2-x(x + 1)-a(x + 1)$，根据乘法分配律$x(x + 1)=x^2+x$，$a(x + 1)=ax + a$，则$x^2-x(x + 1)-a(x + 1)=x^2-(x^2+x)-(ax + a)$。
    • 去括号得$x^2 - x^2 - x - ax - a$，合并同类项后为$(-1 - a)x - a$。
    • 所以原式变为$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(-1 - a)x - a}{x + 1}$。
  3. 接着将分式拆分为两项：
    • $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(-1 - a)x - a}{x + 1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{(-1 - a)x}{x + 1}-\frac{a}{x + 1}\right)$。
    • 根据极限的运算法则$\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)$，则$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{(-1 - a)x}{x + 1}-\frac{a}{x + 1}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(-1 - a)x}{x + 1}-\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{a}{x + 1}$。
  4. 再分别计算两个极限：
    • 对于$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{a}{x + 1}$，当$x\rightarrow+\infty$时，分母$x + 1\rightarrow+\infty$，分子$a$为常数，根据极限性质$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{C}{x^n}=0$（$C$为常数，$n\gt0$），所以$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{a}{x + 1}=0$。
    • 对于$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(-1 - a)x}{x + 1}$，分子分母同时除以$x$，得到$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(-1 - a)}{1+\frac{1}{x}}$。
    • 当$x\rightarrow+\infty$时，$\frac{1}{x}\rightarrow0$，所以$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(-1 - a)}{1+\frac{1}{x}}=-1 - a$。
  5. 最后根据已知条件求解$a$：
    • 因为$\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{x^2}{x + 1}-x - a)=2$，即$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(-1 - a)x}{x + 1}-\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{a}{x + 1}=2$，把$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{a}{x + 1}=0$和$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(-1 - a)x}{x + 1}=-1 - a$代入可得$-1 - a-0 = 2$。
    • 移项可得$-a=2 + 1$，解得$a=-3$。