题目
[题目]求由 ^2+((y-5))^2=16 绕x轴旋转得到的旋转-|||-体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体的生成曲线
给定的方程 ${x}^{2}+{(y-5)}^{2}=16$ 描述了一个圆心在 $(0, 5)$，半径为 $4$ 的圆。绕 $x$ 轴旋转后，这个圆将生成一个旋转体。
步骤 2：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过积分来计算。对于绕 $x$ 轴旋转的曲线 $y=f(x)$，其旋转体的体积 $V$ 可以通过公式 $V=\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$ 来计算，其中 $a$ 和 $b$ 是曲线的定义域的端点。
步骤 3：计算旋转体的体积
给定的圆可以表示为 $y=5+\sqrt{16-x^2}$ 和 $y=5-\sqrt{16-x^2}$。绕 $x$ 轴旋转后，旋转体的体积可以通过计算两个函数的平方差的积分来得到。即 $V=\pi \int_{-4}^{4} [(5+\sqrt{16-x^2})^2 - (5-\sqrt{16-x^2})^2] dx$。
步骤 4：简化积分表达式
简化上述积分表达式，得到 $V=\pi \int_{-4}^{4} [20\sqrt{16-x^2}] dx$。进一步简化为 $V=20\pi \int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx$。
步骤 5：计算积分
积分 $\int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx$ 可以通过几何方法计算，它代表了半径为 $4$ 的半圆的面积，即 $8\pi$。因此，$V=20\pi \times 8\pi = 160\pi^2$。
给定的方程 ${x}^{2}+{(y-5)}^{2}=16$ 描述了一个圆心在 $(0, 5)$，半径为 $4$ 的圆。绕 $x$ 轴旋转后，这个圆将生成一个旋转体。
步骤 2：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过积分来计算。对于绕 $x$ 轴旋转的曲线 $y=f(x)$，其旋转体的体积 $V$ 可以通过公式 $V=\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$ 来计算，其中 $a$ 和 $b$ 是曲线的定义域的端点。
步骤 3：计算旋转体的体积
给定的圆可以表示为 $y=5+\sqrt{16-x^2}$ 和 $y=5-\sqrt{16-x^2}$。绕 $x$ 轴旋转后，旋转体的体积可以通过计算两个函数的平方差的积分来得到。即 $V=\pi \int_{-4}^{4} [(5+\sqrt{16-x^2})^2 - (5-\sqrt{16-x^2})^2] dx$。
步骤 4：简化积分表达式
简化上述积分表达式，得到 $V=\pi \int_{-4}^{4} [20\sqrt{16-x^2}] dx$。进一步简化为 $V=20\pi \int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx$。
步骤 5：计算积分
积分 $\int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx$ 可以通过几何方法计算，它代表了半径为 $4$ 的半圆的面积，即 $8\pi$。因此，$V=20\pi \times 8\pi = 160\pi^2$。