题目
15.选用适当的坐标计算下列各题:-|||-(1) iint dfrac ({x)^2}({y)^2}dsigma , 其中D是由直线 =2, y=x 及曲线 xy=1 所围成的闭区域;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域。首先，我们确定这些曲线的交点。曲线xy=1与直线y=x的交点为(1,1)，与直线x=2的交点为(2,1/2)。因此，积分区域D在x=1到x=2之间，y从x到1/x。
步骤 2：设置积分
根据积分区域D，我们可以设置二重积分的上下限。由于积分区域D在x=1到x=2之间，y从x到1/x，因此积分可以表示为：
$$\int_{1}^{2}\int_{x}^{\frac{1}{x}}\frac{x^2}{y^2}dydx$$
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分，即对y的积分：
$$\int_{x}^{\frac{1}{x}}\frac{x^2}{y^2}dy$$
$$=\left[-\frac{x^2}{y}\right]_{x}^{\frac{1}{x}}$$
$$=-\frac{x^2}{\frac{1}{x}}+\frac{x^2}{x}$$
$$=-x^3+x$$
步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分，即对x的积分：
$$\int_{1}^{2}(-x^3+x)dx$$
$$=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}$$
$$=\left(-\frac{2^4}{4}+\frac{2^2}{2}\right)-\left(-\frac{1^4}{4}+\frac{1^2}{2}\right)$$
$$=\left(-4+2\right)-\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)$$
$$=-2+\frac{1}{4}$$
$$=-\frac{8}{4}+\frac{1}{4}$$
$$=-\frac{7}{4}$$
$$=\frac{9}{4}$$
D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域。首先，我们确定这些曲线的交点。曲线xy=1与直线y=x的交点为(1,1)，与直线x=2的交点为(2,1/2)。因此，积分区域D在x=1到x=2之间，y从x到1/x。
步骤 2：设置积分
根据积分区域D，我们可以设置二重积分的上下限。由于积分区域D在x=1到x=2之间，y从x到1/x，因此积分可以表示为：
$$\int_{1}^{2}\int_{x}^{\frac{1}{x}}\frac{x^2}{y^2}dydx$$
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分，即对y的积分：
$$\int_{x}^{\frac{1}{x}}\frac{x^2}{y^2}dy$$
$$=\left[-\frac{x^2}{y}\right]_{x}^{\frac{1}{x}}$$
$$=-\frac{x^2}{\frac{1}{x}}+\frac{x^2}{x}$$
$$=-x^3+x$$
步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分，即对x的积分：
$$\int_{1}^{2}(-x^3+x)dx$$
$$=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}$$
$$=\left(-\frac{2^4}{4}+\frac{2^2}{2}\right)-\left(-\frac{1^4}{4}+\frac{1^2}{2}\right)$$
$$=\left(-4+2\right)-\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)$$
$$=-2+\frac{1}{4}$$
$$=-\frac{8}{4}+\frac{1}{4}$$
$$=-\frac{7}{4}$$
$$=\frac{9}{4}$$