题目
× 14-29 波长为600 nm的单色光垂直入射在一-|||-光栅上,其透光和不透光部分的宽度比为1:3,第二级-|||-主极大出现在 sin varphi =0.20 处.试问:(1)光栅上相邻两-|||-缝的间距是多少?(2)光栅上狭缝的宽度有多大?-|||-(3)在 -(90)^circ lt varphi lt (90)^circ 范围内,呈现全部明条纹的级数有-|||-哪些?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定光栅常数
光栅常数 $d$ 是光栅上相邻两缝的间距。根据题目，透光和不透光部分的宽度比为1:3，设透光部分的宽度为 $a$，则不透光部分的宽度为 $3a$。因此，光栅常数 $d = a + 3a = 4a$。
步骤 2：计算光栅常数
根据光栅方程 $d\sin\varphi = m\lambda$，其中 $m$ 是级数，$\lambda$ 是波长，$\varphi$ 是衍射角。题目中给出第二级主极大出现在 $\sin\varphi = 0.20$ 处，波长 $\lambda = 600\ nm$，代入光栅方程得 $d\sin\varphi = 2\lambda$，即 $d \times 0.20 = 2 \times 600\ nm$，解得 $d = 6000\ nm = 6\ \mu m$。
步骤 3：计算狭缝宽度
根据步骤1中 $d = 4a$，代入 $d = 6\ \mu m$，解得 $a = 1.5\ \mu m$。
步骤 4：确定明条纹的级数
根据光栅方程 $d\sin\varphi = m\lambda$，在 $-{90}^{\circ }\lt \varphi \lt {90}^{\circ }$ 范围内，$\sin\varphi$ 的取值范围是 $-1$ 到 $1$。因此，$m\lambda$ 的取值范围是 $-d$ 到 $d$。代入 $d = 6\ \mu m$ 和 $\lambda = 600\ nm$，得 $m$ 的取值范围是 $-10$ 到 $10$。但由于光栅方程中 $m$ 必须是整数，因此 $m$ 的取值为 $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 7, \pm 9$。
光栅常数 $d$ 是光栅上相邻两缝的间距。根据题目，透光和不透光部分的宽度比为1:3，设透光部分的宽度为 $a$，则不透光部分的宽度为 $3a$。因此，光栅常数 $d = a + 3a = 4a$。
步骤 2：计算光栅常数
根据光栅方程 $d\sin\varphi = m\lambda$，其中 $m$ 是级数，$\lambda$ 是波长，$\varphi$ 是衍射角。题目中给出第二级主极大出现在 $\sin\varphi = 0.20$ 处，波长 $\lambda = 600\ nm$，代入光栅方程得 $d\sin\varphi = 2\lambda$，即 $d \times 0.20 = 2 \times 600\ nm$，解得 $d = 6000\ nm = 6\ \mu m$。
步骤 3：计算狭缝宽度
根据步骤1中 $d = 4a$，代入 $d = 6\ \mu m$，解得 $a = 1.5\ \mu m$。
步骤 4：确定明条纹的级数
根据光栅方程 $d\sin\varphi = m\lambda$，在 $-{90}^{\circ }\lt \varphi \lt {90}^{\circ }$ 范围内，$\sin\varphi$ 的取值范围是 $-1$ 到 $1$。因此，$m\lambda$ 的取值范围是 $-d$ 到 $d$。代入 $d = 6\ \mu m$ 和 $\lambda = 600\ nm$，得 $m$ 的取值范围是 $-10$ 到 $10$。但由于光栅方程中 $m$ 必须是整数，因此 $m$ 的取值为 $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 7, \pm 9$。