2.求下列各微分方程满足所给初值条件的特解:-|||-(4) ^n=(e)^2y, (|)_(x)=0=y'|x=0=0;

步骤 1：方程变形
在原方程 ${y}^{11}={e}^{2y}$ 两端同乘以 $2y'$，得到 $2y'y''=2y'{e}^{2y}$，即 $({y'}^{2})'=({e}^{2y})'$。
步骤 2：积分
对上式两边积分，得到 ${y'}^{2}={e}^{2y}+{C}_{1}$。
步骤 3：代入初值条件
代入初值条件 $x=0$，$y=y'=0$，得到 ${C}_{1}=-1$，从而有 $y'=\pm \sqrt {{e}^{2y}-1}$。
步骤 4：分离变量
分离变量后积分 $\int \dfrac {dy}{\sqrt {{e}^{2y}-1}}=\pm \int dx$，即 $\int \dfrac {d({e}^{-y})}{\sqrt {1-{e}^{-2y}}}=\pm \int dx$。
步骤 5：积分求解
积分得到 $\arcsin ({e}^{-y})=-x+{C}_{2}$。
步骤 6：代入初值条件
代入初值条件 $x=0$，$y=0$，得到 ${C}_{2}=\dfrac {\pi }{2}$。
步骤 7：求特解
于是得到特解 ${e}^{-y}=\sin (\dfrac {\pi }{2}\pm x)=\cos x$，即 $y=-\ln \cos x=\ln \sec x$。