题目
广义积分 (int )_(0)^+infty dfrac (1)(1+{x)^2}dx=( ) .A. (int )_(0)^+infty dfrac (1)(1+{x)^2}dx=( ) .B. (int )_(0)^+infty dfrac (1)(1+{x)^2}dx=( ) .C.不存在D. (int )_(0)^+infty dfrac (1)(1+{x)^2}dx=( ) .
广义积分
A.
B.
C.不存在
D.
题目解答
答案
将该无穷积分化为为
的极限，即：
对其进行求解，得原式
故
答案选择B
解析
步骤 1：将广义积分转化为极限形式
广义积分$\int_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$可以转化为极限形式，即：
$\int_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx=\lim _{n\rightarrow \infty }{\int }_{0}^{n}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$
步骤 2：求解积分
对$\int_{0}^{n}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$进行求解，由于$\dfrac {1}{1+{x}^{2}}$是$\arctan x$的导数，所以：
$\int_{0}^{n}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx=\arctan x|_{0}^{n}=\arctan n-\arctan 0$
步骤 3：求极限
求解$\lim _{n\rightarrow \infty }(\arctan n-\arctan 0)$，由于$\arctan n$在$n\rightarrow \infty$时趋于$\dfrac {\pi }{2}$，$\arctan 0=0$，所以：
$\lim _{n\rightarrow \infty }(\arctan n-\arctan 0)=\dfrac {\pi }{2}-0=\dfrac {\pi }{2}$
广义积分$\int_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$可以转化为极限形式，即：
$\int_{0}^{+\infty }\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx=\lim _{n\rightarrow \infty }{\int }_{0}^{n}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$
步骤 2：求解积分
对$\int_{0}^{n}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$进行求解，由于$\dfrac {1}{1+{x}^{2}}$是$\arctan x$的导数，所以：
$\int_{0}^{n}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx=\arctan x|_{0}^{n}=\arctan n-\arctan 0$
步骤 3：求极限
求解$\lim _{n\rightarrow \infty }(\arctan n-\arctan 0)$，由于$\arctan n$在$n\rightarrow \infty$时趋于$\dfrac {\pi }{2}$，$\arctan 0=0$，所以：
$\lim _{n\rightarrow \infty }(\arctan n-\arctan 0)=\dfrac {\pi }{2}-0=\dfrac {\pi }{2}$