题目
23.验证a_(1)=(1,-1,0)^T,a_(2)=(2,1,3)^T,a_(3)=(3,1,2)^T为R^3的一个基，并把v_(1)=(5,0,7)^T,v_(2)=(-9,-8,-13)^T用这个基线性表示.
23.验证$a_{1}=(1,-1,0)^{T},a_{2}=(2,1,3)^{T},a_{3}=(3,1,2)^{T}$为$R^{3}$的一个基，并把$v_{1}=(5,0,7)^{T},v_{2}=(-9,-8,-13)^{T}$用这个基线性表示.
题目解答
答案
计算矩阵 $A = (a_1, a_2, a_3)$ 的行列式：
\[
\det(A) = -6 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a_1, a_2, a_3 \text{ 线性无关，构成 } R^3 \text{ 的基。}
\]
解方程组 $A\mathbf{x} = v_1$ 和 $A\mathbf{y} = v_2$：
1. 对于 $v_1 = (5, 0, 7)^T$，解得 $\mathbf{x} = (2, 3, -1)^T$，即 $v_1 = 2a_1 + 3a_2 - a_3$。
2. 对于 $v_2 = (-9, -8, -13)^T$，解得 $\mathbf{y} = (3, -3, -2)^T$，即 $v_2 = 3a_1 - 3a_2 - 2a_3$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
v_1 = 2a_1 + 3a_2 - a_3, \\
v_2 = 3a_1 - 3a_2 - 2a_3.
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：验证$a_{1}, a_{2}, a_{3}$是否为$R^{3}$的一个基
为了验证$a_{1}, a_{2}, a_{3}$是否为$R^{3}$的一个基，我们需要证明它们是线性无关的。这可以通过计算由$a_{1}, a_{2}, a_{3}$构成的矩阵$A$的行列式来实现。如果行列式不为零，则$a_{1}, a_{2}, a_{3}$线性无关，从而构成$R^{3}$的一个基。
步骤 2：计算矩阵$A$的行列式
矩阵$A$由$a_{1}, a_{2}, a_{3}$构成，即$A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$。计算$A$的行列式：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 3) - 2 \cdot (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 3 \cdot (-1 \cdot 3 - 1 \cdot 0) \]
\[ = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-3) \]
\[ = -1 + 4 - 9 = -6 \]
步骤 3：验证$v_{1}$和$v_{2}$是否可以用$a_{1}, a_{2}, a_{3}$线性表示
由于$\det(A) = -6 \neq 0$，$a_{1}, a_{2}, a_{3}$线性无关，构成$R^{3}$的一个基。接下来，我们需要解方程组$A\mathbf{x} = v_{1}$和$A\mathbf{y} = v_{2}$，以找到$v_{1}$和$v_{2}$用$a_{1}, a_{2}, a_{3}$线性表示的系数。
步骤 4：解方程组$A\mathbf{x} = v_{1}$
解方程组$A\mathbf{x} = v_{1}$，即
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \]
解得$\mathbf{x} = (2, 3, -1)^T$，即$v_{1} = 2a_{1} + 3a_{2} - a_{3}$。
步骤 5：解方程组$A\mathbf{y} = v_{2}$
解方程组$A\mathbf{y} = v_{2}$，即
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -8 \\ -13 \end{pmatrix} \]
解得$\mathbf{y} = (3, -3, -2)^T$，即$v_{2} = 3a_{1} - 3a_{2} - 2a_{3}$。
为了验证$a_{1}, a_{2}, a_{3}$是否为$R^{3}$的一个基，我们需要证明它们是线性无关的。这可以通过计算由$a_{1}, a_{2}, a_{3}$构成的矩阵$A$的行列式来实现。如果行列式不为零，则$a_{1}, a_{2}, a_{3}$线性无关，从而构成$R^{3}$的一个基。
步骤 2：计算矩阵$A$的行列式
矩阵$A$由$a_{1}, a_{2}, a_{3}$构成，即$A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$。计算$A$的行列式：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 3) - 2 \cdot (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 3 \cdot (-1 \cdot 3 - 1 \cdot 0) \]
\[ = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-3) \]
\[ = -1 + 4 - 9 = -6 \]
步骤 3：验证$v_{1}$和$v_{2}$是否可以用$a_{1}, a_{2}, a_{3}$线性表示
由于$\det(A) = -6 \neq 0$，$a_{1}, a_{2}, a_{3}$线性无关，构成$R^{3}$的一个基。接下来，我们需要解方程组$A\mathbf{x} = v_{1}$和$A\mathbf{y} = v_{2}$，以找到$v_{1}$和$v_{2}$用$a_{1}, a_{2}, a_{3}$线性表示的系数。
步骤 4：解方程组$A\mathbf{x} = v_{1}$
解方程组$A\mathbf{x} = v_{1}$，即
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \]
解得$\mathbf{x} = (2, 3, -1)^T$，即$v_{1} = 2a_{1} + 3a_{2} - a_{3}$。
步骤 5：解方程组$A\mathbf{y} = v_{2}$
解方程组$A\mathbf{y} = v_{2}$，即
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -8 \\ -13 \end{pmatrix} \]
解得$\mathbf{y} = (3, -3, -2)^T$，即$v_{2} = 3a_{1} - 3a_{2} - 2a_{3}$。