设矩阵 -|||-4= 2-|||-3 3 4.，求矩阵 -|||-4= 2-|||-3 3 4. 的特征值和特征向量 .

步骤 1：求特征多项式
矩阵 $A$ 的特征多项式为 $|A - \lambda E| = 0$，其中 $E$ 是单位矩阵。代入矩阵 $A$，我们得到
$$
|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 7-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (7-\lambda)(1-\lambda)^2
$$
步骤 2：求特征值
解特征方程 $(7-\lambda)(1-\lambda)^2 = 0$，得矩阵 $A$ 的特征值分别为 $\lambda_1 = 7$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$。
步骤 3：求特征向量
将 $\lambda_1 = 7$ 代入齐次线性方程组 $(A - \lambda_1 E)x = 0$，得
$$
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$
解得矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda_1 = 7$ 的全部特征向量为 $k_1(1, 0, 0)$，其中 $k_1 \neq 0$。
将 $\lambda_2 = \lambda_3 = 1$ 代入齐次线性方程组 $(A - \lambda_2 E)x = 0$，得
$$
\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$
解得矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda_2 = \lambda_3 = 1$ 的全部特征向量为 $k_2(0, 1, 0) + k_3(0, 0, 1)$，其中 $k_2, k_3$ 不全为 0。