求三次多项式f(x)=a0+a1x+a2x^2 +a3x^3，使得 f (-1)=0，f(1)=4，f(2)=3，f(3)=16。

考查要点：本题主要考查三次多项式的系数求解，需要根据给定的四个点的函数值建立线性方程组，并通过克拉默法则或消元法求解未知系数。

解题核心思路：

1. 建立方程组：将四个已知点代入三次多项式表达式，得到四个关于$a_0, a_1, a_2, a_3$的线性方程。
2. 解线性方程组：利用行列式（克拉默法则）或消元法求解未知数。
3. 验证结果：将求得的系数代入原多项式，验证是否满足所有给定条件。

破题关键点：

• 正确代入点的坐标，注意符号（如$x=-1$时各项的符号）。
• 高效解方程组：题目已给出行列式值，直接应用克拉默法则可快速求解。

步骤1：建立方程组

将四个条件代入三次多项式$f(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$，得到：

1. $f(-1)=0$：
   $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 = 0$
2. $f(1)=4$：
   $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4$
3. $f(2)=3$：
   $a_0 + 2a_1 + 4a_2 + 8a_3 = 3$
4. $f(3)=16$：
   $a_0 + 3a_1 + 9a_2 + 27a_3 = 16$

步骤2：应用克拉默法则

题目已给出系数矩阵的行列式$D=48$，以及各自由变量替换后的行列式$D_0=336$，$D_1=0$，$D_2=-240$，$D_3=96$。根据克拉默法则：

• $a_0 = \frac{D_0}{D} = \frac{336}{48} = 7$
• $a_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{0}{48} = 0$
• $a_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-240}{48} = -5$
• $a_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{96}{48} = 2$

步骤3：验证结果

将$a_0=7$，$a_1=0$，$a_2=-5$，$a_3=2$代入原多项式，验证所有条件均成立（如$f(-1)=0$，$f(1)=4$等），结果正确。