设向量组 alpha_1, alpha_2, alpha_3线性无关，判断向量组 beta_1 = alpha_1 + alpha_2、beta_2 = alpha_2 + alpha_3、beta_3 = alpha_3 + alpha_1的线性相关性。A. 线性相关B. 线性无关C. 无法确定D. 取决于具体向量

本题考察向量组组线性相关性的判断，核心思路是通过线性组合等于零向量，转化为系数矩阵的线性方程组，利用系数矩阵的行列式是否为零判断解的情况。

步骤1：设线性组合等于零向量

假设存在一组数 $k_1, k_2, k_3$，使得：
$k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$

步骤2：代入向量表达式，整理系数
将 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$、$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$、$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$ 代入上式，得：
$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + k_3(\alpha_3+\alpha_1) = 0$
按 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha\\\sin\alpha_3$ 整理：
$(k_1 + k_3)\alpha\\\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 = 0$

步骤3：利用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关列方程组
由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，其系数必全为零，得线性方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_3 = 0 \\k_1 + k_2 = 0 \\k_2 + k_3 = 0\end{cases}$

步骤4：计算系数矩阵的行列式
方程组的系数矩阵为：
$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$
计算行列式 $\det(A)\(A$：
$\det(A) = 1\times(1\times1 - 0\times1) - 0 1 -2 \neq 0$

步骤5：判断解的情况
因 $\det(A)\neq0$，方程组只有零解 $k_1=k_2=k_3=0$，故 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关。