题目
二、判断题（31分）23.【判断题】（2分）已知矩阵A=(1,2,-1),B=(2,-1,1)，且C=A^TB，则C=(}2&-1&14&-2&2-2&1&-1)。（）bigcirc对bigcirc错
二、判断题（31分）
23.【判断题】（2分）
已知矩阵A=(1,2,-1),B=(2,-1,1)，且$C=A^{T}B$，则$C=\left(\begin{matrix}2&-1&1\\4&-2&2\\-2&1&-1\end{matrix}\right)$。（）
$\bigcirc$对
$\bigcirc$错
题目解答
答案
计算 $C = A^T B$，其中 $A = (1, 2, -1)$，$B = (2, -1, 1)$。
首先，求 $A^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$。
然后，计算 $C$：
\[
C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 & 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) & 2 \cdot 1 \\ -1 \cdot 2 & -1 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
与题目中给出的矩阵一致，故答案为 $\boxed{\text{对}}$。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的转置运算和矩阵乘法的规则，特别是行向量与列向量相乘时的计算细节。
解题核心思路：
- 矩阵转置：将原矩阵的行变为列，列变为行。
- 矩阵乘法：当矩阵$A^T$为$3 \times 1$的列向量，矩阵$B$为$1 \times 3$的行向量时，它们的乘积$C$为$3 \times 3$的矩阵，每个元素$C_{ij}$等于$A^T$的第$i$个元素与$B$的第$j$个元素的乘积。
破题关键点：
- 明确转置后的矩阵维度和元素位置。
- 理解矩阵乘法中元素的计算方式，即逐元素相乘后填充矩阵。
步骤1：求矩阵$A$的转置
原矩阵$A = (1, 2, -1)$为$1 \times 3$的行向量，其转置$A^T$为$3 \times 1$的列向量：
$A^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}.$
步骤2：计算矩阵乘积$C = A^T B$
矩阵$B = (2, -1, 1)$为$1 \times 3$的行向量，因此乘积$C$的维度为$3 \times 3$。
根据矩阵乘法规则，$C$的第$i$行第$j$列元素为：
$C_{ij} = (A^T)_i \cdot B_j.$
逐元素计算：
- 第一行：$1 \times 2 = 2$，$1 \times (-1) = -1$，$1 \times 1 = 1$
- 第二行：$2 \times 2 = 4$，$2 \times (-1) = -2$，$2 \times 1 = 2$
- 第三行：$-1 \times 2 = -2$，$-1 \times (-1) = 1$，$-1 \times 1 = -1$
最终得到：
$C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$
结论：题目中给出的矩阵与计算结果一致，因此判断正确。