题目

判断题f(x)，g(x)在x_(0)附近定义，lim_(x to x_{0)}f(x)=0,lim_(x to x_{0)}f(x)cdot g(x)=Aneq0，一定有lim_(x to x_{0)}g(x)=infty，对吗？A 正确B 错误

判断题 f(x) ， g(x) 在 $x_{0}$ 附近定义， $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=0$,$\lim_{x \to x_{0}}f(x)\cdot g(x)=A\neq0$ ，一定有 $\lim_{x \to x_{0}}g(x)=\infty$ ，对吗？ A 正确 B 错误

题目解答

答案

考虑条件： 1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处趋近于零； 2. $\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = A \neq 0$，即 $f(x) \cdot g(x)$ 在 $x_0$ 处趋近于非零常数 $A$。 若 $g(x)$ 在 $x_0$ 处有极限，设为 $L$，则： \[ \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 \cdot L = 0 \] 与条件矛盾，故 $g(x)$ 在 $x_0$ 处无极限。 但 $g(x)$ 无极限不一定趋于无穷大。例如，取 $f(x) = x$，$g(x) = \frac{1}{x} + \sin\left(\frac{1}{x}\right)$，则： \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = 1 \] 但 $\lim_{x \to 0} g(x)$ 不存在（振荡），不趋于无穷大。 **结论：** 原命题错误。 \[ \boxed{\text{错误}} \]

解析

本题考查函数极限的性质以及对函数极限极限不存在情况的理解。解题的关键在于利用极限的运算法则，通过反证法判断$g(x)$在$x_0$处是否有极限，，再结合具体例子说明无极限不一定趋于无穷大。

  1. 判断$g(x)$在$x_0$处是否有极限：
    • 假设$g(x)$在$x_0$处有极限，设为$L$。
    • 根据极限的乘法运算法则：若$\lim_{x \to x_0} f(x)\(x$和$\lim_{x \to x_0} g(x)$都存在，则$\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)$。
    • 已知$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = L$，所以$\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = 0 \cdot L = 0$。
    • 但题目中给出$\lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = A \neq 0$，这与我们通过假设推出的计算结果矛盾。
    • 因此，假设不成立，即$g(x)$在$x_0$处无极限不存在。
  2. 说明$g(x)$无极限不一定趋于无穷大：
    • 我们可以通过举反例来证明。取$f(x) = x$，$g(x) = \frac{1}{x} + \sin\left(\frac{1}{x}\right)$。
    • 计算$\lim_{x \to 0} f(x)$：
      • 根据极限的基本性质，$\lim_{x \to 0} x = 0$，即$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。
    • 计算$\lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x)$：
  • 先将$f(x)$和$g(x)$代入$f(x) \cdot g(x)$，得到$f(x) \cdot g(x) = x \cdot \left(\frac{1}{x} + \sin\left(\frac{1}{x})\right)= 1 + x\sin(\frac{1}{x})$。
  • 再根据极限的加法运算法则$\lim_{x \to 0} (1 + x\sin(\frac{1}{x})) = \lim_{x \to 0} 1 + \lim_{x \to 0} x\sin(\frac{1}{x})$。
  • 因为$\vert\sin(\frac{1}{x})\vert\leqslant 1$，所以$\vert x\sin(\frac{1}{x})\vert\leqslant \vert x\vert$。
  • 当$x \to 0$时，$\lim_{x \to 0} \vert x\vert = 0$，根据夹逼准则可得$\lim_{x \to 0} x\sin(\frac{1}{x}) = 0$。
  • 那么$\lim_{x \to 0} (1 + \lim_{x \to 0} x\sin(\frac{1}{x}) = 1 + 0 = 1$，即$\lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = 1$。
    • 最后分析$\lim_{x \to 0} g(x)$：
  • 当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to \infty$，$\sin(\frac{1}{x})$在$[-1, 1]$之间振荡，所以$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} + \sin(\frac{1}{x})\right)$不存在（振荡），不趋于无穷大。