题目

36.（填空题，2.0分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数 f(x,y)=}Ae^-(3x+4y),x>0,y>0,0,其他，则常数A=____. 第一空

36.（填空题，2.0分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数 $f(x,y)=\begin{cases}Ae^{-(3x+4y)},x>0,y>0,\\0,其他，\end{cases}$则常数A=____. 第一空

题目解答

答案

为了确定常数 $ A $ 的值，我们需要确保二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数 $ f(x, y) $ 在整个平面上的积分等于 1。概率密度函数 $ f(x, y) $ 给定为： \[ f(x, y) = \begin{cases} Ae^{-(3x + 4y)}, & \text{如果 } x > 0, y > 0, \\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases} \] 我们需要计算 $ f(x, y) $ 在 $ x > 0 $ 和 $ y > 0 $ 区域内的二重积分，并将其设置为等于 1： \[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx \, dy = 1. \] 由于 $ f(x, y) = 0 $ 在 $ x \leq 0 $ 或 $ y \leq 0 $ 的情况下，积分简化为： \[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} Ae^{-(3x + 4y)} \, dx \, dy = 1. \] 我们可以将这个二重积分分离为两个单积分： \[ A \int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx = 1. \] 首先，我们计算 $ x $ 的积分： \[ \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx = \left[ -\frac{1}{3} e^{-3x} \right]_{0}^{\infty} = -\frac{1}{3} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{3}. \] 接下来，我们计算 $ y $ 的积分： \[ \int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy = \left[ -\frac{1}{4} e^{-4y} \right]_{0}^{\infty} = -\frac{1}{4} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{4}. \] 现在，我们将这些结果代回原始表达式： \[ A \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = 1. \] 简化左侧，我们得到： \[ A \cdot \frac{1}{12} = 1. \] 为了解出 $ A $，我们将两边乘以 12： \[ A = 12. \] 因此，常数 $ A $ 的值是 $\boxed{12}$.

解析

本题考查二维随机变量概率密度函数的性质。解题思路是利用二维随机变量概率密度函数在整个平面上的二重积分等于$1$这一性质来确定常数$A$的值。

  1. 首先明确二维随机变量概率密度函数的性质：对于二维随机变量$(X,Y)$的概率密度函数$f(x,y)$，有$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy = 1$。
  2. 已知$f(x,y)=\begin{cases}Ae^{-(3x + 4y)},&x\gt0,y\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，因为$f(x,y)$在$x\leq0$或$y\leq0$时为$0$，所以$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}Ae^{-(3x + 4y)}dxdy$。
  3. 然后将二重积分分离为两个单积分：
    • 根据指数函数的性质$e^{-(3x + 4y)}=e^{-3x}\cdot e^{-4y}$，则$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}Ae^{-(3x + 4y)}dxdy=A\int_{0}^{\infty}e^{-4y}dy\int_{0}^{\infty}e^{-3x}dx$。
  4. 接着分别计算两个单积分：
    • 计算$\int_{0}^{\infty}e^{-3x}dx$：
      • 根据积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C(a\neq0)$，可得$\int_{0}^{\infty}e^{-3x}dx=\left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{\infty}$。
      • 计算定积分的值：$\left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{\infty}=-\frac{1}{3}(0 - 1)=\frac{1}{3}$。
    • 计算$\int_{0}^{\infty}e^{-4y}dy$：
      • 同理可得$\int_{0}^{\infty}e^{-4y}dy=\left[-\frac{1}{4}e^{-4y}\right]_{0}^{\infty}$。
      • 计算定积分的值：$\left[-\frac{1}{4}e^{-4y}\right]_{0}^{\infty}=-\frac{1}{4}(0 - 1)=\frac{1}{4}$。
  5. 最后将两个单积分的结果代回原式：
    • 把$\int_{0}^{\infty}e^{-3x}dx=\frac{1}{3}$和$\int_{0}^{\infty}e^{-4y}dy=\frac{1}{4}$代入$A\int_{0}^{\infty}e^{-4y}dy\int_{0}^{\infty}e^{-3x}dx = 1$，得到$A\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=1$。
    • 化简可得$\frac{A}{12}=1$，解得$A = 12$。