题目
(单选题)lim _(xarrow infty )((dfrac {x-4)(x))}^2x=____lim _(xarrow infty )((dfrac {x-4)(x))}^2x
(单选题)
=____
题目解答
答案
首先，我们可以将原式进行变形，得到：
然后，我们可以利用极限的性质，将其转化为指数函数的形式：
接下来，我们可以利用对数函数的泰勒展开，将
展开为
，其中
表示
的高阶无穷小。
代入上式，我们得到：
由于
当
时趋向于0，所以最后我们得到：
故答案选A。
解析
步骤 1：变形原式
将原式变形为：$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x-4}{x})}^{2x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {4}{x})}^{2x}$。
步骤 2：利用极限性质
利用极限的性质，将上式转化为指数函数的形式：$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {4}{x})}^{2x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x\ln (1-\dfrac {4}{x})}$。
步骤 3：泰勒展开
利用对数函数的泰勒展开，将$\ln (1-\dfrac {4}{x})$展开为$-\dfrac {4}{x}-O(\dfrac {1}{{x}^{2}})$，其中$O(\dfrac {1}{{x}^{2}})$表示于18的高阶无穷小。
步骤 4：代入并简化
代入上式，我们得到：$\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x\ln (1-\dfrac {4}{x})}=\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x(-\dfrac {4}{x}-O(\dfrac {1}{{x}^{2}}))}=\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-8-O(\dfrac {1}{x})}$。
步骤 5：求极限
由于当$x\rightarrow \infty$时，$O(\dfrac {1}{x})$趋向于0，所以最后我们得到：$\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-8-O(\dfrac {1}{x})}=e^{-8}$。
将原式变形为：$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x-4}{x})}^{2x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {4}{x})}^{2x}$。
步骤 2：利用极限性质
利用极限的性质，将上式转化为指数函数的形式：$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {4}{x})}^{2x}=\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x\ln (1-\dfrac {4}{x})}$。
步骤 3：泰勒展开
利用对数函数的泰勒展开，将$\ln (1-\dfrac {4}{x})$展开为$-\dfrac {4}{x}-O(\dfrac {1}{{x}^{2}})$，其中$O(\dfrac {1}{{x}^{2}})$表示于18的高阶无穷小。
步骤 4：代入并简化
代入上式，我们得到：$\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x\ln (1-\dfrac {4}{x})}=\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{2x(-\dfrac {4}{x}-O(\dfrac {1}{{x}^{2}}))}=\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-8-O(\dfrac {1}{x})}$。
步骤 5：求极限
由于当$x\rightarrow \infty$时，$O(\dfrac {1}{x})$趋向于0，所以最后我们得到：$\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-8-O(\dfrac {1}{x})}=e^{-8}$。