题目
求证：如果z0是f(z)的m(m＞1)级零点，那么z0是f(z)的m-1级零点．
求证：如果z0是f(z)的m(m＞1)级零点，那么z0是f(z)的m-1级零点．
题目解答
答案
由题中条件，存在解析函数φ(z)使
f(z)=(z-z0)mφ(z)，且φ(z0)≠0而
f'(z)=m(z-z0)m-1φ(z)+(z-z0)mφ'(z)=(z-z0)m-1[mφ(z)+(z-z0)φ'(z)]
由于函数mφ(z)+(z-z0)φ'(z)当z-z0时为mφ(z0)≠0，且为解析函数所以z=z0为f'(z)的m-1级零点．
解析
本题考查复变函数中零点级别的相关知识。解题的关键思路是根据$m$级零点的定义得到$f(z)$的表达式，然后对$f(z)$求导，再根据零点级别的定义判断$z_0$是否为$f^\prime(z)$的$m - 1$级零点。
- 根据$m$级零点的定义得到$f(z)$的表达式：
已知$z_0$是$f(z)$的$m(m\gt1)$级零点，根据$m$级零点的定义，存在解析函数$\varphi(z)$，使得$f(z)=(z - z_0)^m\varphi(z)$，并且$\varphi(z_0)\neq0$。 - 对$f(z)$求导：
根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对$f(z)=(z - z_0)^m\varphi(z)$求导，其中$u=(z - z_0)^m$，$v = \varphi(z)$。- 先对$u=(z - z_0)^m$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$u^\prime = m(z - z_0)^{m - 1}$。
- 则$f^\prime(z)=m(z - z_0)^{m - 1}\varphi(z)+(z - z_0)^m\varphi^\prime(z)$。
- 提取公因式$(z - z_0)^{m - 1}$，得到$f^\prime(z)=(z - z_0)^{m - 1}[m\varphi(z)+(z - z_0)\varphi^\prime(z)]$。
- 判断$z_0$是否为$f^\prime(z)$的$m - 1$级零点：
令$g(z)=m\varphi(z)+(z - z_0)\varphi^\prime(z)$，因为$\varphi(z)$和$\varphi^\prime(z)$都是解析函数，所以$g(z)$也是解析函数。
将$z = z_0$代入$g(z)$，可得$g(z_0)=m\varphi(z_0)+(z_0 - z_0)\varphi^\prime(z_0)=m\varphi(z_0)$。
由于$\varphi(z_0)\neq0$，所以$g(z_0)=m\varphi(z_0)\neq0$。
根据$m - 1$级零点的定义，存在解析函数$g(z)$，使得$f^\prime(z)=(z - z_0)^{m - 1}g(z)$，且$g(z_0)\neq0$，所以$z_0$是$f^\prime(z)$的$m - 1$级零点。