8. (5.0分) 定积分 int_(-1)^1 x^3dx 的值为0A. 对B. 错

本题考查定积分的计算以及奇函数在对称区间上的积分性质。解题思路如下：

1. 判断函数奇偶性：
   • 对于函数$f(x)=x^3$，计算$f(-x)$，根据幂函数的运算法则$(-x)^n=(-1)^n x^n$，可得$f(-x)=(-x)^3=(-1)^3x^3=-x^3$。
   • 又因为$-f(x)=-x^3$，所以$f(-x)=-f(x)$，根据奇函数的定义可知函数$f(x)=x^3$是奇函数。
2. 利用奇函数在对称区间上的积分性质：
   • 若函数$f(x)$是奇函数，且在区间$[-a,a]$上可积，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$。
   • 在本题中，$a = 1$，函数$f(x)=x^3$是奇函数，所以$\int_{-1}^{1}x^3dx = 0$。
3. 直接计算定积分验证：
   • 根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx=F(b)-F(a)$，对于$\int_{-1}^{1}x^3dx$，先求$x^3$的原函数$F(x)$。
   • 根据幂函数的积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$x^3$的原函数$F(x)=\frac{x^4}{4}+C$（$C$为常数）。
   • 那么$\int_{-1}^{1}x^3dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}$，将上限$1$和下限$-1$代入原函数相减，即$\frac{1^4}{4}-\frac{(-1)^4}{4}$。
   • 计算$\frac{1^4}{4}-\frac{(-1)^4}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$。