(2012年.三.3) 计算定积分 int_(0)^pisqrt(sin^3)x-sin^(5x)dx.

本题考查定积分的计算，解题的关键在于对被积函数进行化简，然后根据三角函数在不同区间的正负性将积分区间拆分，最后通过换元法来计算定积分。

1. 化简被积函数：
   已知被积函数为$\sqrt{\sin^{3}x - \sin^{5}x}$，可提取公因式$\sin^{3}x$，得到$\sqrt{\sin^{3}x(1 - \sin^{2}x)}$。
   根据三角函数的平方关系$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$，即$1 - \sin^{2}x=\cos^{2}x$，所以被积函数可化简为$\sqrt{\sin^{3}x\cos^{2}x}=\vert\cos x\vert\sin^{\frac{3}{2}}x$。
2. 拆分积分区间：
   因为$\cos x$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上大于等于$0$，在$[\frac{\pi}{2},\pi]$上小于等于$0$，所以$\vert\cos x\vert$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上为$\cos x$，在$[\frac{\pi}{2},\pi]$上为$-\cos x$。
   则原积分$\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{3}x - \sin^{5}x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\sin^{\frac{3}{2}}x dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-\cos x)\sin^{\frac{3}{2}}x dx$。
3. 换元计算积分：
   令$u = \sin x$，则$du = \cos x dx$。
   • 对于$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\sin^{\frac{3}{2}}x dx$：
     当$x = 0$时，$u = \sin 0 = 0$；当$x = \frac{\pi}{2}$时，$u = \sin\frac{\pi}{2} = 1$。
     所以$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\sin^{\frac{3}{2}}x dx=\int_{0}^{1}u^{\frac{3}{2}}du$。
     根据幂函数积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_{0}^{1}u^{\frac{3}{2}}du=\left[\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{5}\times1^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\times0^{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}$。
   • 对于$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-\cos x)\sin^{\frac{3}{2}}x dx$：
     当$x = \frac{\pi}{2}$时，$u = \sin\frac{\pi}{2} = 1$；当$x = \pi$时，$u = \sin\pi = 0$。
     所以$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-\cos x)\sin^{\frac{3}{2}}x dx=\int_{1}^{0}-u^{\frac{3}{2}}du$。
     根据定积分的性质$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$，可得$\int_{1}^{0}-u^{\frac{3}{2}}du=\int_{0}^{1}u^{\frac{3}{2}}du=\frac{2}{5}$。
4. 计算最终结果：
   将两部分积分结果相加，可得$\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{3}x - \sin^{5}x}dx=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$。