(2012年.三.3) 计算定积分 int_(0)^pisqrt(sin^3)x-sin^(5x)dx.

将被积函数化简为 $\sqrt{\sin^3 x \cos^2 x}$，利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$。
原积分可拆分为：
$\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin^3 x \cos^2 x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sqrt{\sin^3 x} \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x) \sqrt{\sin^3 x} \, dx.$
令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x \, dx$。
第一个积分：
$\int_{0}^{1} u^{3/2} \, du = \frac{2}{5}.$
第二个积分：
$\int_{1}^{0} -u^{3/2} \, du = \int_{0}^{1} u^{3/2} \, du = \frac{2}{5}.$
两部分相加得：
$\frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}.$
答案： $\boxed{\frac{4}{5}}$