[题目]证明不等式 |arctan a-arctan b|leqslant |a-b|,

考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式，涉及反三角函数的单调性及函数单调性的应用。

解题核心思路：

1. 利用单调性简化问题：通过分析$\arctan x$的单调性，将绝对值不等式转化为无绝对值的形式。
2. 构造辅助函数：构造函数$f(x) = \arctan x - x$，通过研究其导数的符号，证明函数的单调性。
3. 单调性比较大小：利用$f(x)$的单调性，直接比较$f(a)$与$f(b)$的大小关系，从而得到原不等式。

破题关键点：

• 抓住$\arctan x$的单调性：由$\tan x$的单调性推导出$\arctan x$的单调性。
• 构造$f(x) = \arctan x - x$：通过导数证明$f(x)$单调递减，将原不等式转化为$f(a) \leq f(b)$。

步骤1：分析$\arctan x$的单调性
正切函数$y = \tan x$在区间$\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$上单调递增，因此其反函数$y = \arctan x$在$\mathbb{R}$上也单调递增。

步骤2：处理绝对值不等式
不妨设$a \geq b$（若$a < b$，可对称处理），则原不等式变为：
$\arctan a - \arctan b \leq a - b.$
整理得：
$\arctan a - a \leq \arctan b - b.$

步骤3：构造函数并分析单调性
构造函数$f(x) = \arctan x - x$，计算导数：
$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} - 1 = -\frac{x^2}{1 + x^2} \leq 0.$
由于$f'(x) \leq 0$恒成立，故$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递减。

步骤4：利用单调性比较大小
由$a \geq b$及$f(x)$的单调性，得：
$f(a) \leq f(b) \quad \Rightarrow \quad \arctan a - a \leq \arctan b - b.$
即原不等式成立。