4、计算不定积分int(arcsinsqrt(x))/(sqrt(1-x))dx.

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是分部积分法的应用，以及变量替换技巧的灵活运用。

解题核心思路：

1. 分部积分法：通过合理选择分部积分中的$u$和$dv$，将原积分转化为更易计算的形式。
2. 变量替换：通过令$t = \sqrt{x}$简化积分表达式，转化为标准形式后再次使用分部积分。

破题关键点：

• 选择$u = \arcsin \sqrt{x}$，其导数为$\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$，与被积函数中的$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$结合后，剩余部分可进一步简化。
• 变量替换$t = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$\arcsin t$的积分，再通过分部积分求解。

方法一：分部积分法

1. 设变量：
   设$u = \arcsin \sqrt{x}$，则$du = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} dx$；
   设$dv = \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$，则$v = -2\sqrt{1-x}$。

2. 应用分部积分公式：
   $\begin{aligned} \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx &= uv - \int v du \\ &= -2\sqrt{1-x} \cdot \arcsin \sqrt{x} + \int \frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{x(1-x)}} dx \\ &= -2\sqrt{1-x} \cdot \arcsin \sqrt{x} + 2\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx. \end{aligned}$

3. 计算剩余积分：
   $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C.$

4. 合并结果：
   $\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx = -2\sqrt{1-x} \cdot \arcsin \sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C.$

方法二：变量替换法

1. 令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t dt$，原积分变为：
   $\int \frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^2}} \cdot 2t dt = 2 \int t \cdot \arcsin t \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \cdot t dt.$

2. 简化表达式：
   通过进一步变量替换或分部积分，最终可得相同结果。