题目

14.求定积分int_(0)^pisin2xln(2+sin x)dx.

14.求定积分$\int_{0}^{\pi}\sin2x\ln(2+\sin x)dx$.

题目解答

答案

令 $ I = \int_{0}^{\pi} \sin 2x \ln(2 + \sin x) \, dx $。
利用恒等式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$，得
$I = \int_{0}^{\pi} 2 \sin x \cos x \ln(2 + \sin x) \, dx.$
考虑积分的对称性，令 $ x = \pi - t $，则
$I = \int_{\pi}^{0} 2 \sin(\pi - t) \cos(\pi - t) \ln(2 + \sin(\pi - t)) (-dt) = \int_{0}^{\pi} 2 \sin t (-\cos t) \ln(2 + \sin t) \, dt = -I.$
因此，$ I = -I $，解得 $ I = 0 $。

答案： $\boxed{0}$