题目
二、填空题（共8题，共40分）第16/20题 填空题已知级数sum_(n=1)^infty((1)/(6)-u_(n))收敛，则lim_(ntoinfty)u_(n)=( )（本题5分）请填写答案1
二、填空题（共8题，共40分）
第16/20题 填空题
已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{6}-u_{n})$收敛，则$\lim_{n\to\infty}u_{n}=( )$
（本题5分）
请填写答案
1
题目解答
答案
根据级数收敛的必要条件，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。对于给定级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{6} - u_n \right)$，有：
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{6} - u_n \right) = 0
\]
拆分极限得：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} - \lim_{n \to \infty} u_n = 0
\]
解得：
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{6}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{6}}$
解析
考查要点：本题主要考查级数收敛的必要条件及其应用，需要学生理解级数收敛时通项的极限性质。
解题核心思路：
根据级数收敛的必要条件，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则其通项 $a_n$ 的极限必须为 $0$。题目中给出的级数通项为 $\frac{1}{6} - u_n$，因此可直接利用这一条件求解 $u_n$ 的极限。
破题关键点：
- 明确级数收敛的必要条件：通项趋于 $0$。
- 将条件代入通项表达式，建立方程求解 $u_n$ 的极限。
根据级数收敛的必要条件，若 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{6} - u_n \right)$ 收敛，则其通项 $\frac{1}{6} - u_n$ 的极限为 $0$，即：
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{6} - u_n \right) = 0$
将极限拆分为两部分：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} - \lim_{n \to \infty} u_n = 0$
由于 $\frac{1}{6}$ 是常数，其极限仍为 $\frac{1}{6}$，因此方程可化简为：
$\frac{1}{6} - \lim_{n \to \infty} u_n = 0$
解得：
$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1}{6}$