题目

四阶行列式中含有因子a_(11)a_(23)的项是.A. -a_(11)a_(23)a_(32)a_(44), -a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)B. a_(11)a_(23)a_(32)a_(44), a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)C. -a_(11)a_(23)a_(32)a_(44), a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)D. a_(11)a_(23)a_(32)a_(44), -a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)

四阶行列式中含有因子$a_{11}a_{23}$的项是.

A. $-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$, $-a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

B. $a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$, $a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

C. $-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$, $a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

D. $a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$, $-a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

题目解答

答案

C. $-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$, $a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$

解析

考查要点：本题主要考查四阶行列式的展开项构成规律，特别是特定元素组合的符号判断。

解题核心思路：

  1. 行列式展开项的结构：四阶行列式的每个展开项对应一个排列，要求从不同行不同列选取元素。
  2. 符号确定：排列的奇偶性决定项的符号（偶排列符号为正，奇排列符号为负）。
  3. 关键约束：题目要求项必须包含$a_{11}$和$a_{23}$，因此排列的前两位固定为$\sigma(1)=1$，$\sigma(2)=3$，后两位需从剩余列中选择。

破题关键点：

  • 确定剩余列的排列：第三行和第四行需从列2和列4中选择，形成两种可能的排列。
  • 计算排列的奇偶性：通过逆序数或交换次数判断符号。

四阶行列式的展开项由排列决定，每个项的形式为$\text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} a_{3\sigma(3)} a_{4\sigma(4)}$。题目要求包含$a_{11}$和$a_{23}$，即$\sigma(1)=1$，$\sigma(2)=3$，剩余列需从$\{2,4\}$中选择。

剩余列的排列

  1. 排列1：$\sigma(3)=2$，$\sigma(4)=4$，对应排列$(1,3,2,4)$。

    • 奇偶性：排列$(1,3,2,4)$需交换3和2，逆序数为1，为奇排列，符号为$-1$。
    • 项：$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。

  2. 排列2：$\sigma(3)=4$，$\sigma(4)=2$，对应排列$(1,3,4,2)$。

    • 奇偶性：排列$(1,3,4,2)$需两次交换（3与2，4与2），逆序数为2，为偶排列，符号为$+1$。
    • 项：$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。

结论：符合条件的项为$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$和$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$，对应选项C。