int cos (ln x)dx.

步骤 1：分部积分法
我们使用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是：$\int u dv = uv - \int v du$。我们设 $u = \cos(\ln x)$，$dv = dx$，则 $du = -\frac{1}{x}\sin(\ln x)dx$，$v = x$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有：
$$\int \cos(\ln x)dx = x\cos(\ln x) - \int x(-\frac{1}{x}\sin(\ln x))dx$$
$$= x\cos(\ln x) + \int \sin(\ln x)dx$$
步骤 3：再次使用分部积分法
我们再次使用分部积分法来计算 $\int \sin(\ln x)dx$。设 $u = \sin(\ln x)$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{x}\cos(\ln x)dx$，$v = x$。
$$\int \sin(\ln x)dx = x\sin(\ln x) - \int x(\frac{1}{x}\cos(\ln x))dx$$
$$= x\sin(\ln x) - \int \cos(\ln x)dx$$
步骤 4：合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，我们得到：
$$\int \cos(\ln x)dx = x\cos(\ln x) + x\sin(\ln x) - \int \cos(\ln x)dx$$
$$2\int \cos(\ln x)dx = x\cos(\ln x) + x\sin(\ln x)$$
$$\int \cos(\ln x)dx = \frac{1}{2}x(\cos(\ln x) + \sin(\ln x)) + C$$