求lim _(xarrow infty )[ x-(x)^2ln (1+dfrac (1)(x))] -|||-__

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理“∞ - ∞”型不定式的方法，以及变量替换、泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 变量替换：令$t = \dfrac{1}{x}$，将原式转化为关于$t$的表达式，当$x \to \infty$时，$t \to 0$。
2. 化简表达式：将原式转化为分式形式$\dfrac{t - \ln(1+t)}{t^2}$，利用洛必达法则或泰勒展开求解。
3. 关键点：通过两次应用洛必达法则或展开$\ln(1+t)$的泰勒级数，找到分子与分母的主导项，从而求得极限。

变量替换与表达式转化

令$t = \dfrac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$。原式可变形为：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }[ x-{x}^{2}\ln (1+\dfrac {1}{x})] &= \lim _{t\rightarrow 0} \left[ \dfrac{1}{t} - \dfrac{\ln(1+t)}{t^2} \right] \\&= \lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{t - \ln(1+t)}{t^2}.\end{aligned}$

应用洛必达法则

当$t \to 0$时，分子$t - \ln(1+t) \to 0$，分母$t^2 \to 0$，属于$\dfrac{0}{0}$型不定式，可应用洛必达法则：

1. 第一次求导：
   $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1 - \dfrac{1}{1+t}}{2t} = \lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{t}{1+t}}{2t} = \lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1}{2(1+t)}.$
2. 第二次求导：
   直接代入$t = 0$得：
   $\dfrac{1}{2(1+0)} = \dfrac{1}{2}.$

泰勒展开验证

将$\ln(1+t)$展开为泰勒级数：
$\ln(1+t) = t - \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t^3}{3} - \cdots.$
代入分子$t - \ln(1+t)$得：
$t - \left( t - \dfrac{t^2}{2} + \cdots \right) = \dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t^3}{3} + \cdots.$
因此，分式近似为：
$\dfrac{\dfrac{t^2}{2}}{t^2} = \dfrac{1}{2}.$