题目
1.计算题1.计算int Rez dz，其中c是从（0,0）到（2,1）的直线段.
1.计算题
1.计算$\int Rez dz$，其中c是从（0,0）到（2,1）的直线段.
题目解答
答案
设 $z = x + iy$，直线段 $C$ 可参数化为 $x = t$，$y = \frac{t}{2}$，其中 $t \in [0, 2]$。则 $dz = \left(1 + \frac{i}{2}\right) dt$，被积函数 $\operatorname{Re} z = t$。
积分变为：
\[
\int_0^2 t \left(1 + \frac{i}{2}\right) dt = \int_0^2 t \, dt + i \int_0^2 \frac{t}{2} \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^2 + i \left[ \frac{t^2}{4} \right]_0^2 = 2 + i.
\]
或直接利用 $z = x + iy$，$dz = dx + i \, dy$，且 $y = \frac{x}{2}$，$dy = \frac{1}{2} dx$，得：
\[
\int_C x \, (dx + i \, dy) = \int_0^2 x \, dx + i \int_0^2 x \, \frac{1}{2} dx = 2 + i.
\]
**答案：** $\boxed{2 + i}$
解析
步骤 1：参数化直线段
设 $z = x + iy$，直线段 $C$ 可参数化为 $x = t$，$y = \frac{t}{2}$，其中 $t \in [0, 2]$。这是因为从点 $(0,0)$ 到点 $(2,1)$ 的直线段可以表示为 $y = \frac{x}{2}$，而 $x$ 从 $0$ 变化到 $2$。
步骤 2：计算 $dz$
根据参数化，$dz = dx + i \, dy$。由于 $x = t$，$y = \frac{t}{2}$，则 $dx = dt$，$dy = \frac{1}{2} dt$。因此，$dz = dt + i \, \frac{1}{2} dt = \left(1 + \frac{i}{2}\right) dt$。
步骤 3：计算积分
被积函数 $\operatorname{Re} z = t$。积分变为： \[ \int_0^2 t \left(1 + \frac{i}{2}\right) dt = \int_0^2 t \, dt + i \int_0^2 \frac{t}{2} \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^2 + i \left[ \frac{t^2}{4} \right]_0^2 = 2 + i. \]
设 $z = x + iy$，直线段 $C$ 可参数化为 $x = t$，$y = \frac{t}{2}$，其中 $t \in [0, 2]$。这是因为从点 $(0,0)$ 到点 $(2,1)$ 的直线段可以表示为 $y = \frac{x}{2}$，而 $x$ 从 $0$ 变化到 $2$。
步骤 2：计算 $dz$
根据参数化，$dz = dx + i \, dy$。由于 $x = t$，$y = \frac{t}{2}$，则 $dx = dt$，$dy = \frac{1}{2} dt$。因此，$dz = dt + i \, \frac{1}{2} dt = \left(1 + \frac{i}{2}\right) dt$。
步骤 3：计算积分
被积函数 $\operatorname{Re} z = t$。积分变为： \[ \int_0^2 t \left(1 + \frac{i}{2}\right) dt = \int_0^2 t \, dt + i \int_0^2 \frac{t}{2} \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^2 + i \left[ \frac{t^2}{4} \right]_0^2 = 2 + i. \]