题目
5.求下列两个微分方程的公共解： y'=y^2+2x-x^4,y'=2x+x^2+x^4-y-y^2.
5.求下列两个微分方程的公共解： y'=y^{2}+2x-x^{4},y'=2x+x^{2}+x^{4}-y-y^{2}.
题目解答
答案
将两个微分方程的 $ y' $ 表达式相等，得：
\[
y^2 + 2x - x^4 = 2x + x^2 + x^4 - y - y^2
\]
化简得：
\[
2y^2 + y = x^2 + 2x^4
\]
解得：
\[
y = x^2 \quad \text{或} \quad y = -\frac{1 + 2x^2}{2}
\]
代入原方程，发现 $ y = x^2 $ 满足两个方程，而 $ y = -\frac{1 + 2x^2}{2} $ 不满足第一个方程。
**答案：**
$\boxed{y = x^2}$
解析
考查要点：本题要求两个微分方程的公共解，核心思路是联立方程，通过消去导数项得到代数方程，进而求解可能的解，并验证其是否满足原方程。
解题关键：
- 联立方程：将两个微分方程的$y'$表达式设为相等，得到一个关于$y$和$x$的代数方程。
- 化简方程：整理方程并解出$y$的可能表达式。
- 验证解：将得到的解代入原方程，排除不满足的解。
联立方程
将两个微分方程的$y'$表达式相等：
$y^2 + 2x - x^4 = 2x + x^2 + x^4 - y - y^2$
化简方程
移项整理得：
$2y^2 + y = x^2 + 2x^4$
解二次方程
将方程视为关于$y$的二次方程：
$2y^2 + y - (x^2 + 2x^4) = 0$
利用求根公式解得：
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8(x^2 + 2x^4)}}{4} = \frac{-1 \pm (4x^2 + 1)}{4}$
得到两个解：
$y = x^2 \quad \text{或} \quad y = -\frac{1 + 2x^2}{2}$
验证解
- 代入$y = x^2$：
- 第一个方程：$y' = 2x$，右边为$x^4 + 2x - x^4 = 2x$，成立。
- 第二个方程：右边为$2x + x^2 + x^4 - x^2 - x^4 = 2x$，成立。
- 代入$y = -\frac{1 + 2x^2}{2}$：
- 第一个方程：$y' = -2x$，右边为$\left(-\frac{1 + 2x^2}{2}\right)^2 + 2x - x^4$，化简后不等于$-2x$，不成立。