题目
3.判断题alphain R^n则alpha一定能被e_(1),e_(2)···e_(n)线性表示，其中e_(1),e_(2)···e_(n)为n阶单位矩阵的第1,2,···n列。A. 对B. 错
3.判断题
$\alpha\in R^{n}$则$\alpha$一定能被$e_{1},e_{2}···e_{n}$线性表示，其中$e_{1},e_{2}···e_{n}$为n阶单位矩阵的第1,2,···n列。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解向量 $\alpha \in \mathbb{R}^n$ 和向量 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 的关系
向量 $\alpha \in \mathbb{R}^n$ 表示一个 $n$ 维的向量，而 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵的列向量，它们是 $\mathbb{R}^n$ 中的标准基向量。标准基向量 $e_i$ 的第 $i$ 个分量为1，其余分量为0。
步骤 2：标准基向量的性质
标准基向量 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 形成 $\mathbb{R}^n$ 的一个基，这意味着 $\mathbb{R}^n$ 中的任何向量都可以表示为这些向量的线性组合。具体来说，如果 $\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$，那么我们可以写： \[ \alpha = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n \] 这表明 $\alpha$ 确实可以被 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性表示。
步骤 3：结论
由于 $\alpha$ 可以表示为 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 的线性组合，因此题目中给出的陈述是正确的。
向量 $\alpha \in \mathbb{R}^n$ 表示一个 $n$ 维的向量，而 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵的列向量，它们是 $\mathbb{R}^n$ 中的标准基向量。标准基向量 $e_i$ 的第 $i$ 个分量为1，其余分量为0。
步骤 2：标准基向量的性质
标准基向量 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 形成 $\mathbb{R}^n$ 的一个基，这意味着 $\mathbb{R}^n$ 中的任何向量都可以表示为这些向量的线性组合。具体来说，如果 $\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$，那么我们可以写： \[ \alpha = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n \] 这表明 $\alpha$ 确实可以被 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性表示。
步骤 3：结论
由于 $\alpha$ 可以表示为 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 的线性组合，因此题目中给出的陈述是正确的。