题目
已知双曲线C：(({x^2)})/(({a^2))}-(({y^2)})/(({b^2))}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，overrightarrow({F_1)A}⊥overrightarrow({F_1)B}，overrightarrow({F_2)A}=-(2)/(3)overrightarrow({F_2)B}，则C的离心率为 ____ ．
已知双曲线C：$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}$-$\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，$\overrightarrow{{F_1}A}$⊥$\overrightarrow{{F_1}B}$，$\overrightarrow{{F_2}A}$=-$\frac{2}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$，则C的离心率为 ____ ．
题目解答
答案
解：（法一）如图，设F1（-c，0），F2（c，0），B（0，n），设A（x，y），则$\overrightarrow{{F}_{2}A}=（x-c，y），\overrightarrow{{F}_{2}B}=（-c，n）$，
又$\overrightarrow{F_2A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{F_2B}$，则$\left\{\begin{array}{l}{x-c=\frac{2}{3}c}\\{y=-\frac{2}{3}n}\end{array}\right.$，可得$A（\frac{5}{3}c，-\frac{2}{3}n）$，
又$\overrightarrow{{F_1}A}$⊥$\overrightarrow{{F_1}B}$，且$\overrightarrow{{F}_{1}A}=（\frac{8}{3}c，-\frac{2}{3}n），\overrightarrow{{F}_{1}B}=（c，n）$，
则$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=\frac{8}{3}{c}^{2}-\frac{2}{3}{n}^{2}=0$，化简得n2=4c2．
又点A在C上，
则$\frac{\frac{25}{9}{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{4}{9}{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，整理可得$\frac{25{c}^{2}}{9{a}^{2}}-\frac{4{n}^{2}}{9{b}^{2}}=1$，
代n2=4c2，可得$\frac{25{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{16{c}^{2}}{{b}^{2}}=9$，即$25{e}^{2}-\frac{16{e}^{2}}{{e}^{2}-1}=9$，
解得$e^2=\frac{9}{5}$或$\frac{1}{5}$（舍去），
故$e=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
（法二）由$\overrightarrow{FA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{FB}$，得$\frac{|\overrightarrow{{F}_{2}A}|}{|\overrightarrow{{F}_{2}B}|}=\frac{2}{3}$，
设$|\overrightarrow{{F}_{2}A}|=2t，|\overrightarrow{{F}_{2}B}|=3t$，由对称性可得$|\overrightarrow{{F}_{1}B}|=3t$，
则$|\overrightarrow{A{F}_{1}}|=2t+2a，|\overrightarrow{AB}|=5t$，
设∠F1AF2=θ，则$sinθ=\frac{3t}{5t}=\frac{3}{5}$，
所以$cosθ=\frac{4}{5}=\frac{2t+2a}{5t}$，解得t=a，
所以$|\overrightarrow{A{F}_{1}}|=2t+2a=4a，|\overrightarrow{A{F}_{2}}|=2a$，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得$cosθ=\frac{16{a}^{2}+4{a}^{2}-4{c}^{2}}{16{a}^{2}}=\frac{4}{5}$，即5c2=9a2，
则$e=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
解析
步骤 1：确定点A和B的坐标
设F_1（-c，0），F_2（c，0），B（0，n），A（x，y）。
步骤 2：利用向量关系求解A点坐标
由$\overrightarrow{{F_2}A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-c=\frac{2}{3}c}\\{y=-\frac{2}{3}n}\end{array}\right.$，解得$A（\frac{5}{3}c，-\frac{2}{3}n）$。
步骤 3：利用向量垂直关系求解n
由$\overrightarrow{{F_1}A}$⊥$\overrightarrow{{F_1}B}$，可得$\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}=\frac{8}{3}{c}^{2}-\frac{2}{3}{n}^{2}=0$，解得$n^{2}=4c^{2}$。
步骤 4：利用点A在双曲线上求解离心率
将A点坐标代入双曲线方程$\frac{\frac{25}{9}{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{4}{9}{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，代入$n^{2}=4c^{2}$，化简得$\frac{25{c}^{2}}{9{a}^{2}}-\frac{16{c}^{2}}{9{b}^{2}}=1$，进一步化简得$25{e}^{2}-\frac{16{e}^{2}}{{e}^{2}-1}=9$，解得$e^2=\frac{9}{5}$，即$e=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
设F_1（-c，0），F_2（c，0），B（0，n），A（x，y）。
步骤 2：利用向量关系求解A点坐标
由$\overrightarrow{{F_2}A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-c=\frac{2}{3}c}\\{y=-\frac{2}{3}n}\end{array}\right.$，解得$A（\frac{5}{3}c，-\frac{2}{3}n）$。
步骤 3：利用向量垂直关系求解n
由$\overrightarrow{{F_1}A}$⊥$\overrightarrow{{F_1}B}$，可得$\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}=\frac{8}{3}{c}^{2}-\frac{2}{3}{n}^{2}=0$，解得$n^{2}=4c^{2}$。
步骤 4：利用点A在双曲线上求解离心率
将A点坐标代入双曲线方程$\frac{\frac{25}{9}{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{4}{9}{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，代入$n^{2}=4c^{2}$，化简得$\frac{25{c}^{2}}{9{a}^{2}}-\frac{16{c}^{2}}{9{b}^{2}}=1$，进一步化简得$25{e}^{2}-\frac{16{e}^{2}}{{e}^{2}-1}=9$，解得$e^2=\frac{9}{5}$，即$e=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。