题目
一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和最小距离分别是RA和RB,设卫星对应的角动量分别是LA、LB,动能分别是EkA、EkB,则应有( )A.LB>LA,EkA>EkBB.LB>LA,EkA=EkBC.LB=LA,EkA=EkBD.LB<LA,EkA=EkBE.LB=LA,EkA<EkB
一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和最小距离分别是RA和RB,设卫星对应的角动量分别是LA、LB,动能分别是EkA、EkB,则应有( )
- A.LB>LA,EkA>EkB
- B.LB>LA,EkA=EkB
- C.LB=LA,EkA=EkB
- D.LB<LA,EkA=EkB
- E.LB=LA,EkA<EkB
题目解答
答案
E
解析
本题考查人造卫星运动中的角动量守恒和机械能守恒。关键点在于:
- 角动量守恒:卫星在运行过程中,若仅受地球引力作用(无外力矩),角动量保持不变。因此,卫星在最大距离(远地点)和最小距离(近地点)处的角动量相等。
- 机械能守恒:卫星的机械能(动能+引力势能)守恒。在远地点和近地点,速度方向与位置矢量垂直,此时动能与速度平方成正比。由于近地点速度更大,其动能更大。
角动量分析
卫星在远地点(距离$R_A$)和近地点(距离$R_B$)时,角动量分别为:
$L_A = m R_A v_A, \quad L_B = m R_B v_B$
根据角动量守恒,有:
$L_A = L_B \quad \Rightarrow \quad R_A v_A = R_B v_B$
动能分析
动能为:
$E_{kA} = \frac{1}{2} m v_A^2, \quad E_{kB} = \frac{1}{2} m v_B^2$
由角动量关系得:
$v_B = \frac{R_A}{R_B} v_A$
代入动能表达式:
$E_{kB} = \frac{1}{2} m \left( \frac{R_A}{R_B} v_A \right)^2 = \frac{1}{2} m v_A^2 \left( \frac{R_A^2}{R_B^2} \right)$
由于$R_A > R_B$,且卫星在近地点速度更大,故$E_{kB} > E_{kA}$。