6.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)= ),0lt xlt 1,0lt ylt 1 0, . 求:-|||-(1)关于X及关于Y的边缘密度函数;

步骤 1：计算关于X的边缘密度函数 ${f}_{x}(x)$
根据边缘密度函数的定义，关于X的边缘密度函数 ${f}_{x}(x)$ 可以通过联合密度函数 $f(x,y)$ 对变量y进行积分得到。即：
${f}_{x}(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$
由于 $f(x,y)$ 在 $0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 1$ 的范围内非零，因此积分范围为 $0\lt y\lt 1$。所以：
${f}_{x}(x)={\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{4\sqrt {xy}}dy$
步骤 2：计算积分
将积分式子进行计算：
${f}_{x}(x)=\dfrac {1}{4}{\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{\sqrt {xy}}dy$
$=\dfrac {1}{4\sqrt {x}}{\int }_{0}^{1}{y}^{-\dfrac {1}{2}}dy$
$=\dfrac {1}{4\sqrt {x}}2{y}^{\dfrac {1}{2}}{\int }_{0}^{1}$
$=\dfrac {1}{2\sqrt {x}}$
步骤 3：计算关于Y的边缘密度函数 ${f}_{y}(y)$
根据边缘密度函数的定义，关于Y的边缘密度函数 ${f}_{y}(y)$ 可以通过联合密度函数 $f(x,y)$ 对变量x进行积分得到。即：
${f}_{y}(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$
由于 $f(x,y)$ 在 $0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 1$ 的范围内非零，因此积分范围为 $0\lt x\lt 1$。所以：
${f}_{y}(y)={\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{4\sqrt {xy}}dx$
步骤 4：计算积分
将积分式子进行计算：
${f}_{y}(y)=\dfrac {1}{4}{\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{\sqrt {xy}}dx$
$=\dfrac {1}{4\sqrt {y}}{\int }_{0}^{1}{x}^{-\dfrac {1}{2}}dx$
$=\dfrac {1}{4\sqrt {y}}2{x}^{\dfrac {1}{2}}{\int }_{0}^{1}$
$=\dfrac {1}{2\sqrt {y}}$