设 f(z)= x^2 + iy^2，则 f'(1+i)= ( )A. 2B. 2iC. 1+iD. 2+2i

本题考查复变函数导数的计算。解题思路是先根据复变函数可导的充要条件（柯西 - 黎曼方程）判断函数是否可导，若可导再求出其导数表达式，最后将给定的复数代入导数表达式计算出结果。

步骤一：判断函数 $f(z)$ 是否可导

已知 $f(z)=x^{2}+iy^{2}$，令 $u(x,y)=x^{2}$，$v(x,y)=y^{2}$。
分别求 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：

• 对 $u(x,y)$ 求偏导数：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial x}=2x$；
  • $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial y}=0$。
• 对 $v(x,y)$ 求偏导数：
  • $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (y^{2})}{\partial x}=0$；
  • $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (y^{2})}{\partial y}=2y$。
    根据柯西 - 黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，可得：
    $\begin{cases}2x = 2y\\0=-0\end{cases}$
    即 $x = y$ 时，函数 $f(z)$ 可导。

步骤二：求 $f(z)$ 的导数表达式

当函数 $f(z)$ 可导时，其导数公式为 $f^\prime(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$（也可写成 $f^\prime(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$）。
将 $\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial v}{\partial x}=0$ 代入 $f^\prime(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$，可得 $f^\prime(z)=2x$（因为 $x = y$ 时可导）。

步骤三：计算 $f^\prime(1 + i)$

已知 $z = 1 + i$，则其实部 $x = 1$，虚部 $y = 1$，满足 $x = y$，函数在该点可导。
将 $x = 1$ 代入 $f^\prime(z)=2x$，可得 $f^\prime(1 + i)=2\times1 = 2$。