题目
16.函数 =ln sqrt (dfrac {x-1)(x+1)} 的导数=_ __
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简函数
首先，我们化简函数 $y=\ln \sqrt {\dfrac {x-1}{x+1}}$。根据对数和根号的性质，可以将函数写为 $y=\frac{1}{2}\ln \dfrac {x-1}{x+1}$。
步骤 2：求导
接下来，我们对函数 $y=\frac{1}{2}\ln \dfrac {x-1}{x+1}$ 求导。根据链式法则，我们有 $y'=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\dfrac {x-1}{x+1}} \cdot \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac {x-1}{x+1} \right)$。
步骤 3：计算导数
计算 $\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac {x-1}{x+1} \right)$，我们得到 $\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac {x-1}{x+1} \right) = \dfrac{(x+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{2}{(x+1)^2}$。因此，$y'=\frac{1}{2} \cdot \dfrac{x+1}{x-1} \cdot \dfrac{2}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$。
步骤 4：确定定义域
最后，我们需要确定函数的定义域。由于 $\sqrt {\dfrac {x-1}{x+1}}$ 中的根号要求 $\dfrac {x-1}{x+1} > 0$，因此 $x > 1$ 或 $x < -1$。但是，由于 $\ln$ 函数的定义域要求其参数大于0，因此我们只考虑 $x > 1$ 的情况。
首先，我们化简函数 $y=\ln \sqrt {\dfrac {x-1}{x+1}}$。根据对数和根号的性质，可以将函数写为 $y=\frac{1}{2}\ln \dfrac {x-1}{x+1}$。
步骤 2：求导
接下来，我们对函数 $y=\frac{1}{2}\ln \dfrac {x-1}{x+1}$ 求导。根据链式法则，我们有 $y'=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\dfrac {x-1}{x+1}} \cdot \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac {x-1}{x+1} \right)$。
步骤 3：计算导数
计算 $\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac {x-1}{x+1} \right)$，我们得到 $\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac {x-1}{x+1} \right) = \dfrac{(x+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{2}{(x+1)^2}$。因此，$y'=\frac{1}{2} \cdot \dfrac{x+1}{x-1} \cdot \dfrac{2}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$。
步骤 4：确定定义域
最后，我们需要确定函数的定义域。由于 $\sqrt {\dfrac {x-1}{x+1}}$ 中的根号要求 $\dfrac {x-1}{x+1} > 0$，因此 $x > 1$ 或 $x < -1$。但是，由于 $\ln$ 函数的定义域要求其参数大于0，因此我们只考虑 $x > 1$ 的情况。