设F（x）=f（x）g（x），其中函数f（x），g（x）在（-∞，+∞）内满足以下条件：f′（x）=g（x），g′（x）=f（x），且f（0）=0，f（x）+g（x）=2ex．（1）求F（x）所满足的一阶微分方程；（2）求出F（x）的表达式．

考查要点：本题主要考查微分方程的建立与求解，涉及乘积法则、微分方程的积分因子法，以及利用初始条件确定特解。

解题核心思路：

1. 第一问：通过乘积法则求导，结合已知条件将高阶导数转化为关于$F(x)$的方程，利用$f(x)+g(x)=2e^x$消去无关变量。
2. 第二问：将一阶线性微分方程转化为标准形式，使用积分因子法求通解，再代入初始条件确定常数。

破题关键点：

• 利用$f'(x)=g(x)$和$g'(x)=f(x)$简化导数表达式。
• 通过$(f+g)^2$展开将$f^2+g^2$转化为与$F(x)$相关的形式。
• 正确应用积分因子法并代入初始条件。

（1）求一阶微分方程

求导并代入已知条件

由$F(x)=f(x)g(x)$，根据乘积法则：
$F'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
代入$f'(x)=g(x)$和$g'(x)=f(x)$得：
$F'(x) = g^2(x) + f^2(x)$

利用$f(x)+g(x)=2e^x$化简

注意到：
$(f+g)^2 = f^2 + 2fg + g^2 \implies f^2 + g^2 = (f+g)^2 - 2fg$
代入$f(x)+g(x)=2e^x$和$fg=F(x)$得：
$F'(x) = (2e^x)^2 - 2F(x) = 4e^{2x} - 2F(x)$
整理得微分方程：
$F'(x) + 2F(x) = 4e^{2x}$

（2）求$F(x)$的表达式

应用积分因子法

微分方程为：
$F'(x) + 2F(x) = 4e^{2x}$
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x}$
方程两边乘以积分因子：
$e^{2x}F'(x) + 2e^{2x}F(x) = 4e^{4x}$
左边为导数形式：
$\frac{d}{dx} \left( e^{2x}F(x) \right) = 4e^{4x}$
积分得：
$e^{2x}F(x) = \int 4e^{4x} \, dx + C = e^{4x} + C$
解得：
$F(x) = e^{2x} + Ce^{-2x}$

确定常数$C$

由$F(0)=f(0)g(0)=0 \cdot g(0)=0$，代入$x=0$：
$0 = e^{0} + Ce^{0} \implies 1 + C = 0 \implies C = -1$
最终表达式为：
$F(x) = e^{2x} - e^{-2x}$